42° Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

23 y 24 de mayo de 2001

PRIMER DIA (23/05/2001)

1. En la Cámara de Diputados se deben formar n comisiones (n ³ 3), cada una con tres integrantes, de modo tal que para cada par de comisiones haya exactamente un diputado que integra esas dos comisiones. Determinar el mínimo valor de n tal que las condiciones anteriores obliguen a poner a un mismo diputado en todas las comisiones.

2. Dado un par ordenado de números naturales (a, b), las operaciones permitidas son reemplazar el par (a, b) por el par (a² + 1, b + 1) o reemplazar el par (a,b) por el par (a + 1, b² + 1). Determinar todos los naturales n tales que, a partir del par (1,3) y mediante una secuencia de operaciones permitidas se puede obtener el par (n,n).

3. Dada una circunferencia y un punto A exterior a la circunferencia, sean M y N los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la circunferencia trazadas desde A. Una recta por A intersecta a la circunferencia en B y C. Si D es el punto medio del segmento MN, demostrar que MN es bisectriz del ángulo BDC.

SEGUNDO DIA (24/05/2001)

4. Hay n personas sentadas alrededor de una mesa redonda, y están numeradas de 1 a n, siguiendo el sentido de las agujas del reloj. Cada una de ellas, comenzando por la primera, tiene una moneda más que la persona que le sigue. Es decir, si a_i es la cantidad de monedas que tiene la persona número i, (1 £ i £ n) entonces a₁ = a₂ + 1 = a₃ + 2 = ... = a_n + n - 1. En un momento dado, comienzan a pasarse monedas, de la siguiente manera: la primera persona le da una moneda al vecino que está a su izquierda, y luego, cada cual en su turno, siguiendo el sentido horario, entrega al vecino que está a su izquierda una moneda más que las que acaba de recibir (si recibió k monedas entrega k+1). El proceso se detiene cuando una persona no tiene suficientes monedas para darle lo que corresponde al vecino que está a su izquierda. En ese momento hay dos personas que son vecinas y tales que una de ellas tiene exactamente 5 veces la cantidad de monedas que tiene la otra. Determinar el número de personas que puede haber alrededor de la mesa y la cantidad total de monedas que tienen.

5. Sea C el menor de los ángulos del triángulo ABC. En la circunferencia que pasa por A, B y C, consideramos un punto variable X en el arco AB que no contiene a C. Sea D en la semirrecta AX tal que AD = BC y sea E en la semirrecta BX tal que BE = AC. Denotamos M al punto medio del segmento DE. Determinar el lugar geométrico de los puntos M cuando X varía en el arco AB.

6. Demostrar que para cada entero n ³ 3 se pueden elegir n números naturales distintos con la siguiente propiedad: para cada uno de los n números, el resto de dividir el producto de los otros n -1 números por ese número es igual a 1.

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