41 Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

1º y 2 de junio de 2000

PRIMER DIA (1/6/00)

1

Se considera la grilla de todos los puntos P = (a,b) del plano que tienen las dos coordenadas enteras (a es entero y b es entero). Hay que pintar de rojo algunos puntos de esta grilla de modo que se verifiquen simultáneamente las siguientes dos condiciones:

• No haya tres puntos rojos que sean colineales.
• Para cada tres puntos rojos, el baricentro del triángulo que determinan NO sea un punto de la grilla (es decir, no tenga ambas coordenadas enteras).

Determinar el máximo número de puntos de la grilla que se pueden pintar de rojo.

2

Decimos que un número natural es alternado de orden n si sus últimas n cifras se alternan en paridad. Por ejemplo, son alternados de orden 4 los números 1092, 6721, 541092, 31092, y no son alternados de orden 4 los números 8072, 3418072, 7123345, 125.

Demostrar que para cada entero positivo n existe un entero positivo k tal que 5^k es un número alternado de orden n.

3

Sean ABC un triángulo obtusángulo con C>90º, D un punto del lado BC y O el punto medio de AD.

Sean M y N en OD y OC, respectivamente, tales que MN es paralelo a BC y AN = 20M. Denotamos P al punto de intersección entre CM y la paralela a AC trazada por O. Demostrar que AP es bisectriz del ángulo MAN.

SEGUNDO DIA (2/6/00)

4

Sean ABCDEF un hexágono, no necesariamente regular, y S una circunferencia tangente a los seis lados del hexágono, tal que S es tangente a AB, CD y EF en sus puntos medios P, Q y R, respectivamente. Si X, Y, Z son los puntos de tangencia de S con BC, DE y FA, respectivamente, demostrar que PY, QZ y RX son concurrentes.

5

Juan y Pablo juegan, por turnos, al siguiente juego: cada uno, en su turno, escribe un número natural que sea divisor positivo de 100! y que no haya sido escrito antes. Después de cada jugada, se calcula el máximo común divisor de todos los números escritos, y si este máximo común divisor es igual a 1, el juego ha terminado y perdió el jugador que escribió el último número.

Si Juan comienza el juego (escribe el primer número), ¿cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora?

ACLARACION: 100! es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta 100, es decir, 100! = 1.2.3.4..... 97.98.99.100.

6

Dados n números reales x₁, x₂, .... x_n, sea P el producto de estos n números. Demostrar que si los n números P - x₁, P - x₂, ..., P - x_n son todos enteros impares, entonces los n números iniciales, x₁, x₂, .... x_n, son todos irracionales.

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