XXXIX Olimpíada Internacional de Matemática

15 y 16 de Junio de 1998. Taipei, Taiwan

1

En el cuadrilátero convexo ABCD, las diagonales AC y BD son perpendiculares y los lados opuestos AB y DC no son paralelos. El punto P intersección de las mediatrices AB y DC está en el interior del cuadrilátero ABCD. Demuestre que los vértices de ABCD están en una misma circunferencia si y sólo si los triángulos ABP y CDP tienen áreas iguales.

2

En una competencia hay a concursantes y b jueces, con b3 un entero impar. Cada juez califica a cada concursante como "apto" o "no apto". Sea k un número tal que, para cada dos jueces sus decisiones coinciden a lo más en k concursantes. Demuestre que

.

3

Para cada entero positivo n denotamos por d(n) el número de divisores positivos de n (incluyendo 1 y n). Encuentre todos los enteros positivos k para los que existe algún n tal que

4

Encuentre todas las parejas de enteros positivos (a,b) tales que a²b+a+b es divisible por ab²+b+7.

5

Sea I el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. Esta circunferencia es tangente a los lados BC, CA y AB del triángulo en los puntos K, L y M, respectivamente. La recta paralela a MK que pasa por el punto B interseca a las rectas LM y LK en los puntos R y S, respectivamente. Demuestre que el ángulo RIS es agudo.

6

Sea N el conjunto de los enteros positivos. Se consideran todas las funciones f de N en N que satisfacen

f(t² . f(s)) = s(f(t))²,

para todo s y t de N. Halle el menor valor posible de f(1998).

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