para todo m y n. Primer día
Mar del Plata, Argentina - 24 de julio de 1997
1
En el plano, los puntos de coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados se colorean alternadamente de blanco y negro (como los del tablero de ajedrez).
Para cada par de enteros positivos m y n, se considera un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes m y n, están sobre los lados de los cuadrados.
Sean S1 el área total de la región negra del triángulo y S2 el área total de su región blanca. Sea
f(m,n) = | S1 - S2 |.
(a) Calcular f(m,n) para todos los enteros positivos m y n que son, o bien ambos pares, o bien ambos impares.
(b) Probar que para todo m y n.
(c) Demostrar que no existe ninguna constante C tal que f(m,n) < C para todo m y n.
2
El ángulo A es el menor de los ángulos del triángulo ABC.
Los puntos B y C dividen a la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos. Sea U un punto interior del arco BC que no contiene a A.
Las mediatrices de AB y AC cortan a la recta AU en V y W, respectivamente. Las rectas BV y CW se cortan en T.
Demostrar que
AU = TB + TC.
3
Sean x1, x2, ... , xn números reales que verifican las condiciones:
|x1 + x2 + ... + xn | = 1
y
para i = 1, 2,
... , n.
Demostrar que existe una reordenación (o permutación) y1, y2, ... , yn de x1, x2, ... , xn tal que
.
Segundo día
Mar del Plata, Argentina - 25 de julio de 1997
4
Una matriz n x n (es decir, un tablero cuadrado de n filas y n columnas) se rellena con números del conjunto S={1, 2, ... , 2n - 1}, Tal tablero se llama matriz de plata si, para cada i = 1, ... , n, la i-ésima fila y la i-ésima columna juntas contienen todos los números del conjunto S. Demostrar que:
(a) No existe ninguna matriz de plata para n = 1997;
(b) Existen matrices de plata para infinitos valores de n.
5
Determinar todas las parejas (a,b) de enteros a
1, b 1 que satisfacen la
ecuación
a(b2) = ba.
6
Para cada entero positivo n , sea f(n) el número de formas en que se puede representar a n como suma de potencias de 2 con exponentes enteros no negativos.
Las representaciones que difieren únicamente en el orden de sus sumandos se consideran iguales. Por ejemplo f(4)=4, porque 4 puede ser representado en las cuatro siguientes formas:
4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1.
Probar que, para todo entero n 3:
2n2/4 < f(2n) < 2n2/2.
Cada problema vale 7 puntos.
Tiempo: 4 1/2 horas.