37th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD
Prueba de Selección

Primer Día - 23 de mayo de 1996

1. En un reloj de agujas se traza la recta que pasa por los puntos 6 y 12. Esta recta es un "eje de simetría horaria", es decir: En cada instante del día, si imaginamos las agujas en la posición simétrica respecto de dicha recta, tendremos exactamente la posición correspondiente a otro instante del día.

  1. Demostrar que la recta que pasa por los puntos 6 y 12 es un eje de simetría horaria.
  2. Hallar todas las rectas que contienen al centro del reloj y son eje de simetría horaria.

2. Con n3 cubos iguales, perforados a lo largo de una diagonal, se forma un collar, pasando un hilo por las diagonales, de modo que cada cubo se toque con el siguiente en un vértice y el último cubo se toque con el primero en un vértice. Decidir para qué valores de n el collar se puede guardar en una caja de n x n x n, sin romper el hilo.

3. Hallar los números reales positivos x, y, sabiendo que

(x+y)/2 ; (x.y)^½ ; ((x^2 + y^2)/2)^½ ; (2xy)/(x+y)


son cuatro números enteros que suman 66.

Segundo Día - 24 de mayo de 1996

4. Sean n y r enteros positivos tales que n es mayor o igual que 2 y r no es múltiplo de n, y sea d el máximo común divisor entre n y r.

r/n - [r/n] + 2r/n - [2r/n] + 3r/n - [3r/n] +...+ ((n-1).r)/n - [ ((n-1).r)/n ] = (n-d)/2

ACLARACIÓN: Los corchetes indican parte entera, por ejemplo,

[1/2]=0 ; [7/3]=2 ; etc.

5. Sea ABC un triángulo tal que

^A = 180°/7 ; ^B = 360°/7 ; ^C = 720°/7

Sean D, E, F los puntos medios de los lados BC, AC, AB respectivamente. Sean P, Q, R los pies de las alturas trazadas desde A, B, C respectivamente Demostrar que los puntos D, E, F, P, Q, R (en algun orden) son 6 de los vértices de un heptágono regular.

6. Un tablero de 1 x n tiene sus n casillas numeradas en azul de 1 a n. Hay n fichas con los números 1, 2, ..., n escritos en rojo (un número en cada ficha). De cuántas maneras se pueden distribuir las n fichas en el tablero (una ficha en cada casilla) de modo que haya exactamente dos casillas en las que el número rojo sea mayor o igual que el azul?

 

Archivo de Enunciados Página Principal Olimpíada Matemática Argentina
   www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar