5-17 July 1996: Mumbai, India.

1. Sea ABCD un tablero rectangular, con AB = 20 y BC = 12. El tablero se dividide en 20 x 12 cuadrados unitarios. Sea r un entero positivo dado. Una ficha puede moverse de un cuadrado a otro si y sólo si la distancia entre los centros de los cuadrados es exactamente la raíz cuadrada de r. Se trata de hallar una sucesión de movimientos que lleve la ficha del cuadrado que tiene el vértice A al cuadrado que tiene el vértice B.

1. Demostrar que la eso no es posible si r es divisible por 2 o por 3.
2. Demostrar que si es posible cuando r = 73.
3. ¿Es posible hallar una sucesión de movimientos cuando r = 97?

2. Sea P un punto dentro de un triángulo ABC tal que . Sean D y E los incentros de los triángulos APB y APC respectivamente. Demostrar que AP, BD, y CF son concurrentes.

3. Sea S = {0, 1, 2, ...} el conjunto de enteros no negativos. Hallar todas las funciones f definidas en S y que toman sus valores en S tales que f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) para todo m, n en S.

Cada problema vale 7 puntos.

Segundo Día - 11 de julio de 1996

4. Sean a y b enteros estrictamente positivos tales que 15a + 16b y 16a - 15b son ambos cuadrados de enteros positivos. Determinar el menor valor posible que puede tomar el mínimo de esos dos cuadrados.

5. Sea ABCDEF un hexágono convexo tal que AB es paralelo a ED, BC es paralelo a FE y CD es paralelo a AF. Sean R_A, R_C y R_E los radios de las circunferencias circunscritas a los triángulos FAB, BCD, y DEF respectivamente y sea p el perímetro del hexagono. Probar que

R_A + R_C + R_E p/2.

6. Sean n, p, q enteros positivos con n > p + q. Sean x₀, x₁, ..., x_n enteros que verifican las siguientes condiciones:

1. x₀ = x_n = 0, y
2. Para cada i, 1 i n, se tiene que, o bien
   
   x_i - x_i-1 = p, o bien
   
   x_i - x_i-1 = -q.
   Demostrar que existe una pareja (i,j) con i < j, y (i,j)(0,n), tal que x_i = x_j.

Cada problema vale 7 puntos.

 

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