Toronto, Canadá. 1995

1. Sean A, B, C y D cuatro puntos distintos sobre una recta, en ese orden. Las circunferencias de diámetros AC y BD se cortan en los puntos X e Y. La recta XY corta a BC en el punto Z.
Sea P un punto de la recta XY, distinto de Z. La recta CP corta a la circunferencia de diámetro AC en los puntos C y M, y la recta BP corta a la circunferencia de diámetro BD en los puntos B y N.
Demuestre que las rectas AM,DN y XY son concurrentes.

2. Sean a,b y c números reales positivos tales que a.b.c=1. Demuestre que

3. Determine todos los enteros n>3 para los cuales existen n puntos A₁,A₂, ... ,A_n en el plano, y números reales r₁,r₂,...,r_n que cumplan las condiciones siguientes:

1. Entre los puntos A₁,A₂, ... ,A_n no hay tres que sean colineales.
2. Para cada terna i, j, k (1 i < j < k n) el triángulo A_iA_jA_k tiene área igual a r_i+r_j+r_k.

4. Encuentre el valor máximo de X₀ para el cual existe una sucesión de números reales positivos X₀,X₁, ... ,X₁₉₉₅ que cumple las condiciones:

1. X₀=X₁₉₉₅
2. para 1 i 1995.

5. Sea ABCDEF un hexágono convexo, tal que:

AB = BC = CD
DE = EF = FA
BCD = EFA = 60^o.

Sean G y H dos puntos del interior del hexágono tales que AGB=DHE=120^o. Demuestre que

AG + GB + GH + DH + HE CF.

6. Sea p un número primo impar. Encuentre el número de subconjuntos A del conjunto {1,2,... ,2.p} tales que

1. el número de elementos de A es p.
2. la suma de todos los elementos de A es divisible por p.

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