Primer día

1. Se dice que un número natural n es "sensato" si existe un entero r, con 1<r<n-1, tal que la representación de n en base r tiene todas sus cifras iguales. Por ejemplo, 62 y 15 son sensatos, ya que 62 es 222 en base 5 y 15 es 33 en base 4.

Demostrar que 1993 NO es sensato pero 1994 sí lo es.

2. Sea un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, cuyos vértices se denotan consecutivamente por A, B, C y D. Se supone que existe una semicircunferencia con centro en AB, tangente a los otros tres lados del cuadrilátero.

1. Demostrar que AB=AD+BC
2. Calcular, en función de x=AB e y=CD, el área máxima que puede alcanzar un cuadrilátero que satisface las condiciones del enunciado.

3. En cada casilla de un tablero de n x n hay una lámpara. Al ser tocada una lámpara cambian de estado ella misma y todas las lámparas situadas en la fila y la columna que ella determina (las que están encendidas se apagan y las apagadas se encienden). Inicialmente todas están apagadas. Demostrar que siempre es posible, con una sucesión adecuada de toques, que todo el tablero quede encendido y encontrar, en función de n, el número mínimo de toques para que se enciendan todas las lámparas.

4. Se dan los puntos A, B y C sobre una circunferencia K de manera que el triángulo ABC es acutángulo. Sea P un punto interior a K. Se trazan las rectas AP, BP y CP, que cortan de nuevo a la circunferencia en X, Y y Z. Determinar el punto P para que el triángulo XYZ sea equilátero.

5. Sean n y r dos enteros positivos. Se desea construir r subconjuntos A₁, A₂,... ,A_r de {0,1,... ,n-1} cada uno de ellos con k elementos exactamente y tales que, para cada entero x, 0 x n-1, existen x₁ en A₁,x₂ en A₂,... ,x_r en A_r (un elemento en cada conjunto) con

x = x₁+x₂+... +x_r.

Hallar el menor valor posible de k en función de n y r.

6. Demostrar que todo número natural n 2^1.000.000 puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1.100.000 sumas; más precisamente, hay una sucesión finita de números naturales

x₀, x₁, ... , x_k con k 1.100.000, x₀=1, x_k=n,

tal que para cada i=1,2,... ,k, existen r, s, con 0r < i, 0 s, i y x_i=x_r+x_s.

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