Primer día

1. Un número natural es capicúa si al escribirlo en notación decimal, se puede leer de igual forma tanto de izquierda a dercha como de derecha a izquierda, por ejemplo: 8, 23432, 6446.

Sean x₁<x₂ < ... < x_i<x_i+1<... todos los número capicúas. Para cada i sea y_i+1 = x_i+1-x_i.

¿Cuántos números primos distintos tiene el conjunto {y₁,y₂,y₃,... }?

2. Demuestre que para cualquier polígono convexo de área 1 existe un paraleogramo de área 2 que lo contiene.

3. Sea N*={1,2,3,... }. Halle todas las funciones f: N* --> N* tales que:

i. Si x < y entonces f(x) < f(y)

ii. f(y(f(x)) = x².f(xy), para todos x, y en N*.

4. Sea ABC un triángulo equilatero y Q su circunferencia inscrita. Si D y E son puntos de los lados AB y AC, respectivamente, tales que DE es tangente a Q, demuestre que (AD)/(DB)+(AE)/(EC) = 1

5. Sean P y Q dos puntos distintos del plano. Denotemos por m(PQ) a la mediatriz del segmento PQ. Sea S un subconjunto finito del plano, con más de un elemento que satisface las siguientes propiedades:

1. Si P y Q son puntos distintos de S, entonces m(PQ) interseca a S.
   
2. Si P₁Q₁, P₂Q₂ y P₃Q₃ son tres segmentos diferentes cuyos extremos son puntos de S, entonces ningún punto de S pertenece simultáneamente a las tres rectas m(P₁Q₁), m(P₂Q₂) y m(P₃Q₃).

Determine el número de puntos que puede tener S.

6. Dos números enteros no negativos a y b son "cuates" si la expresión decimal a+b consta solamente de ceros y unos. Sean A y B dos conjuntos infinitos de enteros no negativos, tales que B es el conjunto de todos los números que son "cuates" de todos los elementos de B.

Pruebe que en uno de los conjuntos A o B hay infinitos pares de números x, y tales que x-y = 1.

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