VII Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Septiembre de 1992. Caracas, Venezuela

 

1

Para cada entero positivo n, sea an el último dígito del número. 1+2+3+...+n Calcular a1 + a2 + a3 + ... + a1992.

 

2

Dadas la colección de n números reales positivos a1 < a2 < a3 < ... < an y la función

f(x) = [a_1 / (x+a_1)] + [a_2 / (x+a_2)] + ... + [a_n / (x+a_n)]

Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los x = 1.

 

3

En un triángulo equilátero ABC cuyo lado tiene longitud 2 se inscribe la circunferencia G.

  1. Demostrar que para todo punto P de G, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices A, B y C es 5.
  2. Demostrar que para todo punto P de G es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos AP, BP y CP, y que su área es:

raiz de 3/4

 

4

Sean (an) y (bn) dos sucesiones de números enteros que verifican las las siguientes condiciones:

  1. a0 = 0, b0 = 8

  2. a1 = 2

  3. an es un cuadrado perfecto para todo n. Encontrar un número N de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con cinco cifras de N.

 

5

Se da la circunferencia C y los números positivos h y m de modo que existe un trapecio ABCD inscrito en C, de altura h y en el que la suma de las bases AB y CD es m. Construir el trapecio ABCD.

 

6

A partir del triángulo T de vértices A, B y C se construye el hexágono H de vértices A1, A2, B1, B2, C1, C2 como se muestra en la figura. Demostrar que:

área(H) >= 13.área(T)

figura

 

 


Archivo de Enunciados Página Principal Olimpíada Matemática Argentina
   
www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar

 

alcohol duty free duty free cigarette uk buy duty free cuban cigars order cosmetics online duty free perfumes canada where to buy duty free tobacco
duty free alcohol prices duty free cigarettes rules cigars duty free buy cosmetics wholesale fragrances duty free where to buy duty free tobacco