VI Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Septiembre de 1991. Córdoba, Argentina

1

A cada vértice de un cubo se asigna el valor de +1 o -1, y a cada cara el producto de los valores asignados a cada vértice. ¿Qué valores puede tomar la suma de los 14 números así obtenidos?

2

Dos rectas perpendiculares dividen un cuadrado en cuatro partes, tres de las cuales tienen cada una área igual a 1. Demostrar que el área del cuadrado es cuatro.

3

Sea f una función creciente definida para todo número real x, 0 £ x £ 1, tal que:

1. f(0) = 0
2. f(x/3) = f(x)/2
3. f(1-x) = 1 - f(x)

Encontrar f(18/1991)

4

Encontrar un número N de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con cinco cifras de N.

5

Sea P(x,y) = 2x² - 6xy + 5y². Diremos que un número entero a es un valor de P si existen números enteros b y c tales que a=P(b,c).

1. Determinar cuántos elementos de {1, 2, 3, ... ,100} son valores de P.
2. Probar que el producto de valores de P es un valor de P.

6

Dados 3 puntos no alineados M, N y P, sabemos que M y N son puntos medios de dos lados de un triángulo y que P es el punto de intersección de las alturas de dicho triángulo. Construir el triángulo.

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