V Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Septiembre de 1990. Valladolid, España

1

Sea f una función, definida en el conjunto de los enteros mayores o iguales que cero, que verifica las dos condiciones siguientes:

1. Si n = 2^j -1, para n = 0, 1, 2, ... , entonces f(n) = 0

2. Si n2^j -1, para n = 0, 1, 2, ... , entonces f(n+1) = f(n)-1.

1. Demostrar que para todo entero n, mayor o igual que cero, existe un entero k, mayor que cero, tal que:

f(n) + n = 2^k - 1.

2. Calcular f (2¹⁹⁹⁰).

2

En un triángulo ABC, sean I el centro de la circunferencia inscrita y D, E y F sus puntos de tangencia con los lados BC, AC y AB, respectivamente. Sea P el otro punto de intersección de la recta AD con la circunferencia inscrita.
Si M es el punto medio de EF, demostrar que los cuatro puntos P, I, M y D pertenecen a una misma circunferencia.

3

Sea f(x) = (x + b)²-c, un polinomio con b y c números enteros.

1. Si p es un número primo tal que p divide a c y p² no divide a c, demostrar que, cuaslquiera que sea el número entero n, p² no divide a f(n).

2. Sea q un número primo, distinto de 2, que divide a c. Si q divide a f(n) para algún número entero n, demostrar que para cada entero positivo r existe un número entero n' tal que q^r divide a f(n').

4

Sean: C₁ una circunferencia, AB uno de sus diámetros, t su tangente en B y M un punto de C₁ distinto de A.
Se construye una circunferencia C₂ tangente a C₁ en M y a la recta t.

1. Determinar el punto P de tangencia de t y C₂ y hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias al variar M.

2. Demostrar que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias C₂.

NOTA: Dos circunferencias son ortogonales si se cortan y las tangentes respectivas en los puntos de intersección son perpendiculares.

5

Sean A y B vértices opuestos de un tablero cuadriculado de n por n casillas (n ³ 1), a cada una de las cuales se añade su diagonal de dirección AB, formándose así 2n² triángulos iguales. Se mueven una ficha recorriendo un camino que va desde A hasta B formado por segmentos del tablero, y se coloca, cada vez que se recorre, una semilla en cada uno de los triángulos que admite ese segmento como lado. El camino se recorre de tal forma que no se pasa por ningún segmento más de una vez, y se observa, después de recorrido, que hay exactamente dos semillas en cada uno de los 2n² triángulos del tablero. ¿Para qué valores de n es posible esta situación?

6

Sea f(x) un polinomio de grado 3 con coeficientes racionales. Probar que si el gráfico de f es tangente al eje x, entonces f(x) tiene sus 3 raíces racionales.

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