21° Olimpíada
Iberoamericana de Matemática
Prueba de Selección
3 y 4 de agosto
de 2006
Primer día
1. Se dispone de un tablero de
(dividido en casillas de 1´1)
y de un rey. En cada movida
el rey se desplaza una casilla, y tiene dos clases de movimientos: de clase I si
se desplaza de la casilla que ocupa a una vecina horizontal o vertical; de clase
II si se desplaza de la casilla que ocupa a una vecina diagonal (con un solo vértice
en común). Además es obligatorio que las movidas consecutivas sean siempre de
distinta clase (se deben alternar una movida de cada clase). Hallar todos los
enteros
para los cuales es posible elegir
una casilla inicial y una secuencia de movidas tales que el rey visite
exactamente una vez cada casilla del tablero (se considera que la casilla
inicial fue visitada por el rey al iniciar la primera movida).
2. Sea ABC un
triángulo tal que
. Sea D en el lado BC tal que
y sea E en la prolongación del lado BA (A está entre B
y E) tal que
. La circunferencia que pasa por B, E y D corta al lado AC
en P, y la recta BP corta a la circunferencia que pasa por A,
B y C en Q (
).
Demostrar que
.
3. Sean a, b, c, d, e, f números
reales tales que
y
.
Demostrar que
.
Segundo
día
4. Hallar todos los enteros x tales que
es el cuadrado de un número
racional.
5.
Se elige un entero positivo y a partir de éste se construye una lista de números
enteros en la que cada número, a partir del segundo, se obtiene efectuando la
resta del número anterior menos el número anterior pero escrito de derecha a
izquierda (y con el mismo signo que el número anterior). Por ejemplo, si el
primer número de la lista es 3570, el segundo es 2817, pues
, el tercero es
, pues
, el cuarto es
, pues
, etc.
Hallar el menor entero positivo que se puede elegir inicialmente para que
sea posible prolongar la lista indefinidamente sin que nunca se haga idénticamente
0.
6. Un polígono regular de n
lados se divide en triángulos mediante
diagonales que no se cortan en el
interior del polígono. Determinar, para cada n, el máximo número de
triángulos no congruentes que puede tener la división.
