19° Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Prueba de Selección

12 y 13 de agosto de 2004

Primer día

1. En un torneo de ajedrez en el que participan 8 jugadores al cabo de la primera semana se observa que ningún jugador ha enfrentado más de una vez al mismo oponente y que es imposible formar un grupo de 5 jugadores de modo tal que cada integrante haya enfrentado a los otros 4. Determinar el máximo número de partidos que se pueden haber jugado hasta el momento en que se hicieron las observaciones.

2. Hallar todos los primos positivos p tales que 

 es un cuadrado.

3. Sea ABC un triángulo acutángulo tal que y . Denotamos O al circuncentro del triángulo ABC, T al circuncentro del triángulo AOC y M al punto medio del lado AC. Se consideran D y E en los lados AB y BC respectivamente tales que . Demostrar que .

Segundo día

4. Dado un paralelogramo ABCD de lados AB, BC, CD y DA sean M en el lado AB y N en el lado BC tales que AM=NC (M y N no son vértices). Denotamos Q al punto de intersección de AN y CM. Demostrar que DQ es bisectriz del ángulo .

5. Se tiene un tablero de 2⁵¹ ´ 2⁵³ cuadriculado en cuadraditos de 1´1 y una cantidad ilimitada de piezas de la forma:

Cada pieza cubre exactamente 3 cuadraditos del tablero.

Decidir si con estas piezas es posible cubrir todo el tablero excepto un cuadradito, sin dejar otros huecos, sin superposiciones y sin sobresalirse del tablero..

Está permitido girar las piezas o darlas vuelta.

6. Sea p un primo positivo con exactamente 30 dígitos, todos distintos de cero. Se define la sucesión a_n de la siguiente manera:

a₁ = p y a_n + 1 es el período del número , multiplicado por 2.

Hallar a₁₀₁.

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