XIV Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Prueba de Selección

5 y 6 de Agosto de 1999

1

Fernando elige 14 números enteros positivos distintos. Sebastián puede suprimir una cantidad par de estos números, pero no todos, y a cada uno de los números restantes debe pintarlo de rojo o de azul, de modo que la mitad de los números sean rojos y la otra mitad sean azules. Se calcula la suma de los inversos multiplicativos de los números rojos: R, y se calcula la suma de los inversos multiplicativos de los números azules: A. Si el valor absoluto de la diferencia entre estas dos sumas es menor que 0,001 (es decir, si | A - R | < 0,001), gana Sebastián. En caso contrario, gana Fernando.

Demostrar que cualesquiera sean los 14 números que elija Fernando, Sebastián siempre le puede ganar.

ACLARACIÓN: el inverso multiplicativo de x es 1 / x.

2

Sea ABP un triángulo isósceles con AB = AP y el ángulo PAB agudo. Se traza por P la recta perpendicular a BP, y en esta perpendicular se considera un punto C ubicado del mismo lado que A con respecto a la recta BP y del mismo lado que P con respecto a la recta AB. Sea D tal que DA es paralelo a BC y DC es paralelo a AB, y sea M el punto de intersección de PC y DA. Hallar DM / DA.

3

Sean a, b, c, d números reales distintos tales que

a / b + b / c + c / d + d / a = 4   y   ac = bd

Hallar el máximo valor posible de

a / c + b / d + c / a + d / b.

4

Hallar el menor valor de n para el que 1999 puede expresarse como la suma de n potencias cuartas de números enteros positivos.

5

Sea ABCD un rectángulo con el lado AB mayor que el lado AD. La circunferencia de centro B y radio AB intersecta a la recta DC en los puntos E y F.

(a) Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo EBF es tangente a la circunferencia de diámetro AD.

(b) Sea G el punto de tangencia entre las dos circunferencias mencionadas en (a). Demostrar que los puntos D, G y B son colineales.

6

Dado un entero positivo n, sea X = {1, 2, 3, ..., n} el conjunto de los enteros desde 1 hasta n. Consideramos una familia F de subconjuntos propios de X con la siguiente propiedad: si dos subconjuntos pertenecen a la familia F, entonces o bien son disjuntos o bien uno está contenido en el otro.

Para cada n, hallar el número máximo de subconjuntos que puede tener la familia F.

ACLARACION: un subconjunto de X es propio si no es vacío ni es igual al conjunto X.

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