XIV Olimpíada Iberoamericana de Matemática

14 y 15 de Septiembre de 1999

1

Halle todos los enteros positivos que son menores que 1000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.

2

Dadas dos circunferencias M y N, decimos que M biseca a N si la cuerda común es un diámetro de N.

Considere dos circunferencias fijas C₁ y C₂ no concéntricas.

a) Pruebe que existen infinitas circunferencias B tales que B biseca a C₁ y B biseca a C₂.

b) Determine el lugar geométrico de los centros de las circunferencias B.

3

Sean n puntos distintos, P₁, P₂, ..., P_n , sobre una recta del plano (n > 2). Se consideran las circunferencias de diámetro P_iP_j (1 < i < j < n) y coloreamos cada circunferencia con uno de k colores dados. Llamamos (n, k)-nube a esta configuración.

Para cada entero positivo k, determine todos los n para los cuales se verifica que toda (n, k)-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.

NOTA: Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.

4

Sea B un entero mayor que 10 tal que cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto {1, 3, 7, 9}. Demuestre que 8 tiene un factor primo mayor o igual que 11.

5

Un triángulo acutángulo ABC está inscrito en una circunferencia de centro O.

Las alturas del triángulo son AD, BE y CF. La recta EF corta a la circunferencia en P y Q.

a) Pruebe que OA es perpendicular a PQ.

b) Si M es el punto medio de BC, pruebe que AP² = 2 . AD . OM

6

Sean A y B puntos del plano y C un punto de la mediatriz de AB. Se construye una sucesión C₁, C₂, ... , C_n, ... de la siguiente manera:

C₁ = C y para n > 1, si C_n no pertenece al segmento AB, C_n+1 es el circuncentro del triángulo ABC_n.

Determine todos los puntos C tales que la sucesión C₁, C₂, ..., C_n, ...está definida para todo n y es periódica a partir de un cierto punto.

NOTA: Una sucesión C₁, C₂, ..., C_n, ... es periódica a partir de un cierto punto si existen enteros positivos k y p tales que C_n+p = C_n para todo n > k.

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