XIII Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Prueba de Selección

13 y 14 de Agosto de 1998

1

Se dispone de un tablero cuadriculado de 8x8 con todas sus casillas blancas. Cada casilla tiene área 1. Juan elige 8 casillas y las pinta de negro. El tablero está arruinado cuando es imposible recortar, siguiendo las líneas de la cuadrícula, un rectángulo de área mayor o igual que 8 y que tenga todas sus casillas blancas.
Decidir si Juan puede elegir las 8 casillas de modo que el tablero quede arruinado.

2

Sea ABC un triángulo acutángulo y M un punto en el interior del lado AC. Sean l la perpendicular a BC trazada por el punto medio de AM, t la perpendicular a AB trazada por el punto medio de CM y P el punto de intersección de l y t. Hallar el lugar geométrico de P cuando M varía en el lado AC.

3

Hallar todas las funciones f tales que

f(f(x) + y) = f(x²-y) + 4 f(x)y      para todos x, y reales.

4

Hallar todos los números naturales k que verifican:

mcd(37m-1;1998) = mcd(37m-1;k)  para todo número natural m.

ACLARACIÓN: La notación mcd indica máximo común divisor.

5

Sea ABC un triángulo y P un punto interior tal que ^PBC = ^PCA < ^PAB (^ABC es el ángulo ABC). La recta PB corta la circunferencia circunscrita al triángulo ABC en E, y la recta CE corta a la circunferencia circunscrita al triángulo APE en F. Demostrar que no depende de la elección del punto P.

6

Sea n un número natural fijo. Se consideran k números naturales a₁, a₂, ..., a_k, cada uno de ellos menor o igual que 2n con la siguiente propiedad: el mínimo común múltiplo entre dos de los enteros considerados es siempre mayor que 2n.

1. Demostrar que kn.

2. Demostrar que .

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