XIII Olimpíada Iberoamericana de Matemática

22 y 23 de Septiembre de 1998

1

Se dan 98 puntos sobre una circunferencia. María y José juegan alternadamente de la siguiente manera: cada uno de ellos traza un segmento uniendo dos de los puntos dados que no hayan sido unidos entre si anteriormente. El juego termina cuando los 98 puntos han sido usados como extremos de un segmento al menos una vez. El vencedor es la persona que realiza el último trazo.
Si José inicia el juego, ¿quién puede asegurarse la victoria?

2

La circunferencia inscrita en el triángulo ABC es tangente a los lados BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente. AD corta la circunferencia en un segundo punto Q. Demostrar que la recta EQ pasa por el punto medio de AF si, y solamente si, AC = BC.

3

Hallar el mínimo número natural n con la siguiente propiedad: entre cualesquiera n números distintos, pertenecientes al conjunto {1, 2, ..., 999} se puede elegir cuatro números diferentes a, b, c, d, tales que a + 2b + 3c = d.

4

Alrededor de una mesa redonda están sentados representantes de n países (n2), de modo que satisfacen la siguiente condición: si dos personas son del mismo país, entonces sus respectivos vecinos de la derecha no pueden ser de un mismo país. Determinar, para cada n, el número máximo de personas que puede haber alrededor de la mesa.

5

Hallar el máximo valor posible de n para que existan puntos distintos P₁, P₂ , P₃ , ... , P_n en el plano y números reales r₁, r₂, ..., r_n de modo que la distancia entre cualquiera de dos puntos diferentes P_i y P_j sea r_i + r_j.

6

Sea la raíz positiva de la ecuación t² - 1998t - 1 = 0. Se define la sucesión x₀, x₁, x₂, ... , x_n, ... por:

Hallar el residuo (resto) de la división de x₁₉₉₈ por 1998.
Nota: Los corchetes indican parte entera, o sea, [x] es el único entero k tal que k x k+1.

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