22/8/97 Primer día

1. Sean ABCD un paralelogramo (AB||CD y BC||AD) y O un punto interior tal que AOB+COD=180o.
Demostrar que OBC=ODC.

2. Un número natural n es atrevido si la suma de las cifras de 3n es mayor o igual que la suma de las cifras de 3n+1.
Por ejemplo, 2 es atrevido pues

32=9, 32+1=27 y 92+7=9

11 es atrevido pues

311=177147, 311+1=531441 y 27=1+7+7+1+4+75+3+1+4+4+1=18.

Demostrar que hay infinitos números atrevidos.

3. La computadora de Fabio tiene un programa tal que al apretar la tecla "F" transforma al número natural N escrito en la pantalla de acuerdo con las siguientes reglas:

Si N es impar, entonces N=2n-1 y lo reemplaza por 2n.

Si N es par, entonces N=2n y lo reemplaza por n+(2n/d(n)), donde d(n) es el mayor divisor impar de n.

Inicialmente el número escrito en la pantalla es el 1. ¿Cuántas veces se debe apretar la tecla "F" para obtener en la pantalla el número 1997?

ACLARACIÓN: Si n es impar, d(n)=n.

23/8/97 Segundo día

4. Si n > 1 es un número entero coprimo con 1997, consideramos el conjunto An formado por todos los números

i + ni/1997 , con i = 1, 2, 3, ... , 1996

y todos los números

j + 1997j/n , con j = 1, 2, 3, ... , n-1

El conjunto An tiene 1995+n números.
Ordenamos los números de An en forma creciente:

a1a2 ... a1995+n

Demostrar que ak+1-ak < 2 para todo k = 1, 2, ... , 1994 + n.

5. En una mesa rectangular hay hojas de papel cuadradas e idénticas entre si, puestas de cualquier manera pero con sus lados paralelos a los bordes de la mesa (las hojas pueden estar total o parcialmente superpuestas).

Demostrar que es posible clavar alfileres de modo que todas las hojas queden pinchadas a la mesa pero cada hoja esté pinchada por un solo alfiler.

6. Sea n>1 un número entero. Consideramos las palabras de 2n letras, compuestas por n letras A y n letras B.
Una palabra X1X2.....X2n se dice despareja si ningún segmento inicial X1....Xk (1k < 2n) tiene igual número de letras A que de letras B.
Una palabra X1X2.....X2n se dice pareja si hay exactamente un segmento inicial X1....Xk (1k < 2n) que tiene igual número de letras A que de letras B.

Si d(n) es la cantidad de palabras desparejas y p(n) es la cantidad de palabras parejas, calcular

p(n)/d(n)

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