XI Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Prueba de Selección

15 y 16 de agosto de 1996

(1) En una competencia de gimnasia artística de 10 participantes hay tres jueces. Después de la prueba, cada juez asigna a cada participante un número de 1 a 10, sin repeticiones y luego se suman los tres números que recibe cada gimnasta. Gana el que obtiene la menor suma. Si en la competencia hay un ganador absoluto, ¿cuál es el máximo valor que puede tener la suma correspondiente a dicho ganador?

(2) Dadas en el plano cuatro rectas, a, b, c y d tales que cada tres de ellas determinan un triángulo, probar que si a es paralela a una mediana del triángulo que determinan b, c y d, entonces b es paralela a una mediana del triángulo que determinan a, c y d, c es paralela a una mediana del triángulo que determinan a, b y d, y d es paralela a una mediana del triángulo que determinan a, b y c.

(3) Para cada número n, sea f(n) la cantidad de maneras en las que se puede expresar a n como suma de números iguales a 1, 3 o 4. Por ejemplo, f(4)=4, pues todas las maneras posibles son 4=1+1+1+1, 4=1+3, 4=3+1 y 4=4. Demostrar que si n es par, f(n) es un cuadrado perfecto.

(4) Hallar todos los pares M, N de cuadrados perfectos de cuatro dígitos que verifican simultáneamente: (i) Tanto M como N tienen un dígito repetido y los otros dos distintos. Ademas, el dígito repetido es el mismo en ambos números y ocupa exactamente las mismas posiciones. (ii) En cada una de las dos posiciones restantes, el dígito de M supera al de N en una unidad. 

ACLARACION: Un ejemplo de estos pares es M=3600, N=2500.

(5) Un juego tiene una pantalla cuadrada de 100 milímetros de lado. El jugador marca un punto A en la pantalla. El juego le señala otro punto R, que no se modificará nunca más durante el partido. En cada movida, el jugador puede cambiar su punto A por cualquiera de los puntos medios de los cuatro segmentos que unen A con los vértices de la pantalla. El jugador gana si logra ubicar su punto A a distancia menor que 1 milímetro de R. Probar que siempre puede ganar en a lo sumo 8 movidas.

(6) Se dan dos circunferencias C1 y C2de radios distintos, que se intersectan en dos puntos. Sea P un punto interior de la región común a los dos círculos correspondientes a C1 y C2. Cada recta l que pasa por P, intersecta al borde de la región común a ambos círculos en U y V. Determinar la posición de l para la cual PU x PV es mínimo.

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