Primer día

1. Determine los posibles valores de las sumas de los dígitos de todos los cuadrados perfectos.

2. Sea n un número entero mayor que 1. Determine los números reales

X₁, X₂, ... ,X_n 1,  y  X_n+1 > 0

que verifican las dos condiciones siguientes:

1. X₁^1/2 + X₂^3/2 + ... + X_n^n+1/2 = n.X_n+1^1/2
2. (X₁ + X₂ + ... + X_n)/n = X_n+1

3. Sean r y s dos rectas ortogonales y que no están en el mismo plano.
Sea AB su perpendicular común, donde Ar y Bs (*).
Se considera la esfera de diámetro AB. Los puntos M de la recta r, y N de la recta s, son variables, con la condición de que MN sea tangente a la esfera en un punto T.

Determine el lugar geométrico de T.

Nota (*): el plano que contiene a B y r es perpendicular a s.

4. En un tablero de m x n casillas se colocan fichas. Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas de la fila ( - ), la columna ( | ) y la diagonal ( \ ) a la que pertenece (*). Determine el menor número de fichas deben colocarse para que queden "dominadas" todas las casillas del tablero.

Nota (*): observe que la ficha no "domina" la diagonal (/).

5. La circunferencia inscrita en el triángulo ABC es tangente a BC, CA y AB en D, E y F respectivamente.
Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a AD en su punto medio X, es decir, AX = XD.
Las rectas XB y XC cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en Y y en Z, respectivamente.

Demuestre que EY = FZ.

6. Una función f:N --> N es circular si para cada p en N existe n en N con n p tal que

f ⁿ(p) = f( f( ... n veces ... f(p))) = p

La función f tiene grado de repulsión k, 0 < k<1, si para cada p en N, f ⁱ (p)p para i=1, 2, ... , [k.p] (*).

Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular.

Nota (*): [x] indica el mayor entero menor o igual que x.

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