I Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Diciembre de 1985. Villa de Leyva, Colombia

1

Halle todas las ternas de enteros (a,b,c) tales que:

a + b + c = 24
a² + b² + c² = 210
a.b.c = 440

2

Sea P un punto interior del triángulo equilátero ABC tal que:

PA = 5, PB = 7, y PC = 8

Halle la longitud de un lado del triángulo ABC.

3

Halle las raíces r₁, r₂, r₃ y r₄ de la ecuación:

4x⁴ - ax³ + bx² - cx + 5 = 0.

Sabiendo que son reales, positivos y que:

.

4

Si: x ¹ 1, y ¹ 1, x ¹ y

y:

Demuestre que ambas fracciones son iguales a x + y + z.

5

A cada entero positivo n se asigna un entero no negativo f(n) de tal manera que se satisfagan las siguientes condiciones:

1. f(rs) = f(r) + f(s)
2. f(n) = 0, siempre que la cifra en las unidades n sea 3.
3. f(10) es cero.

Halle f(1985).Justifique su respuesta.

6

Dado un triángulo ABC, se consideran los puntos D, E y F de las rectas BC, AC y AB respectivamente. Si las rectas AD, BE y CF pasan todas por el centro O de la circunferencia al triángulo ABC, cuyo radio es r, demuestre que:

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