Determinar cuántos puntos Q de la forma Q=(x,2000) con x entero, 1
x1997, son visibles desde O.II Olimpíada
del Mercosur
Torneo de Frontera 1997 - Prueba 2
| primer nivel |
1
Sea ABC un triángulo rectángulo con ^C=90o,
AC=6 y BC=8.
Se dibujan tres semicircunferencias exteriores al triángulo: la
de diámetro AB, la de diámetro AC y la de
diámetro BC.
Se dibuja la recta tangente a la semicircunferencia de diámetro AC
que es paralela a AC.
Se dibuja la recta tangente a la semicircunferencia de diámetro AB
que es paralela a AC.
Se dibuja la recta tangente a la semicircunferencia de diámetro BC
que es paralela a BC.
Se dibuja la recta tangente a la semicircunferencia de diámetro AB
que es paralela a BC.
Estas cuatro rectas determinan un rectángulo. Hallar el
perímetro del rectángulo.
Nota: Si P es un punto de una circunferencia de centro O, la
recta tangente a la circunferencia en P es perpendicular al radio
OP.
2
Sean A y B dos números naturales de tres cifras cada uno. Si se escriben las cifras de A a continuación de las cifras de B se obtiene un número de seis cifras que es igual a 6 veces el número de seis cifras que se obtiene al escribir las cifras de B a continuación de las de A. Hallar A y B.
3
En una fiesta hay seis varones y algunas mujeres. Se sabe que:
- Hay dos mujeres que conocen exactamente a cuatro varones cada una.
- Hay tres mujeres que conocen exactamente a tres varones cada una.
- Las demás mujeres conocen exactamente a dos varones cada una.
- Ningún varón conoce a más de cuatro mujeres.
¿Cuál es el máximo número de mujeres que puede haber en la fiesta?
| segundo nivel |
1
Se dan dos rectángulos iguales: ABCD y APQR, tales que P está en el interior del rectángulo ABCD y el lado PQ del rectángulo APQR intersecta al lado DC del rectángulo ABCD en el punto E. Si se sabe que:
Hallar el área de la figura ABCEP.
2
Ariel, Bernardo y Claudio resuelven cada uno exactamente 60
problemas de una lista de 100. Todos los problemas fueron
resueltos por al menos uno de los tres.
Diremos que un problema es fácil si los tres los resolvieron y
que es difícil si sólo uno de los tres lo resolvió.
Si d es la cantidad de problemas difíciles y f
es la cantidad de problemas fáciles, hallar d-f.
3
Se consideran los puntos del plano P=(x,y)
con sus dos coordenadas enteras. Diremos que P es
visible desde O=(0,0) si el segmento OP no
contiene otros puntos de coordenadas enteras además de O
y P.
Determinar cuántos puntos Q de la forma Q=(x,2000)
con x entero, 1x1997, son visibles desde O.
| tercer nivel |
1
Calcular la suma
![S=[raiz de 1] + [raiz de 2] + [raiz de 3] + ..... + [raiz de 1996] + [raiz de 1997]](fro2-2_1.gif){kind=small}
nota: los corchetes indican la parte entera del número que encierran. por ejemplo, [1,41]=1, [3]=3, [2,32]=2, etc.
2
Sean C y C' circunferencias tangentes
interiores, de centros O y O', y radios R
y r respectivamente (R>r).
La perpendicular por O' a la recta OO'
intersecta a C en P y Q.
Sea M un punto de la recta OO' y en el interior
de C tal que MP y MQ son tangentes a C'.
Sabiendo que el ángulo PMQ=90o, calcular R/r.
3
Ignacio y Sofía van de Copiapó a Catamarca. Ignacio va la mitad del tiempo a velocidad a y la otra mitad a velocidad b. Sofía va la mitad del camino a velocidad a y la otra mitad a velocidad b. Si salen juntos de Copiapó, ¿cuál de los dos llega primero a Catamarca?
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