Hallar todas las parejas (X,Y) de enteros positivos que cumplen simultáneamente

X + Y = 2015

3·X + 4·Y = 6244

Encontrar todos los enteros positivos X tales que  X² + 2·X + 4  divide a 9938367.

Para la clase de actividades prácticas Santiago recorta una cartulina amarilla en N tiritas iguales. Luego corta cada tirita en N cuadraditos iguales. Y después corta cada cuadradito en N pedacitos iguales. Toma todos los pedacitos y pinta algunos de rojo, otros de azul y otros de verde. Al terminar, los pedacitos quedaron 1 rojo por cada 2 verdes (proporción 1:2), 5 azules por cada rojo (proporción 5:1), y 2015 pedacitos de amarillo original. Tobías quiere adivinar cuánto vale N, y además de todo lo anterior sabe que N es menor a 1000. ¿Cuántas opciones tiene para N?

Hallar todos los números de la forma CASA compuestos por los dígitos A, C y S no nulos que cumplan que el resultado de  SACA · CASA  empiece con S y termine con SA.

Ejemplo: 2015 empieza con 2 y termina con 15.

Hallar la cantidad de parejas (X,Y) de enteros positivos menores que 2015 para los cuales  2·X+3·Y  es primo.

Nota: Los primos son los números enteros mayores que 1 que sólo pueden dividirse por 1 y por si mismos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …

Los vecinos de Villa La Estrechura quieren construir un nuevo tanque de agua. El tanque tendrá forma prismática (como una caja). El costo del techo es $23 por metro cuadrado (debe resistir el sol y la lluvia). El costo de las paredes norte y sur es $17 por metro cuadrado (debe resistir los vientos). El costo de las otras dos paredes es $13 por metro cuadrado. El piso ya está construido y no tiene costo. Por los bloques de construcción usados, las dimensiones del tanque son cantidades enteras de metros. El tanque contendrá exactamente mil millones de litros de agua. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para que el costo sea mínimo? Dar todas las posibilidades...

a) ... si además ninguna de las tres dimensiones del tanque puede superar los 1000m.

b) ... si es aceptable que cualquiera de las tres dimensiones supere ese valor.

Lucas y Nicolás alternadamente van diciendo los enteros positivos 1, 2, 3, ..., pero cambian los números que tienen algún 7 (por ejemplo 127 o 70) por 'pin', y los múltiplos de 7 que no tienen cifra 7 (por ejemplo 28) por 'pun'. Empiezan así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, pin, 8, 9, 10, 11, 12, 13, pun, 15, 16, pin, 18, 19, 20, pun, 22, ...,  hasta llegar a 9999.

a) ¿Cuántos números saltearon, reemplazándolos por palabras?

b) ¿Cuánto vale la suma de los números salteados?

c) ¿Cuántos números saltearían si jugaran hasta 9999999? (son 7 nueves)

a) Hallar W, X, Y, Z enteros positivos que cumplan la igualdad 

W·(W + X)·(W + X + Y)·(W + X + Y + Z) = 4·2015

b) Hallar todas las soluciones del ítem a).

c) Hallar W, X, Y, Z enteros positivos que cumplan la igualdad 

W·(W + X)·(W + X + Y)·(W + X + Y + Z) = 4·2015²

d) Contar cuántas soluciones tiene el ítem c).

Un primo es reversible si su reverso es otro primo distinto. El reverso de un número es el que se obtiene al dar vuelta sus cifras; por ejemplo el reverso de 2015 es 5102. Un número es capicúa si es igual a su reverso; por ejemplo 51215 es capicúa.

a) Hallar un primo reversible que multiplicado por su reverso dé un número capicúa.

b) Contar cuántos cumplen a) y son menores a 1000000.

Nota: Los primos son los números enteros mayores que 1 que sólo pueden dividirse por 1 y por si mismos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …