14^vo Torneo de Computación y Matemática

Certamen Zonal

 9 de septiembre de 2011

Web www.oma.org.ar

Nivel 1(7^mo y 8^vo año de escolaridad)

Problema 1

Hallar enteros positivos A y B tales que A es divisible por 3, B es divisible por 31, A∙B es múltiplo de 2011, y A + B = 46304.

Problema 2

Encontrar un número de 6 cifras AABBCC que sea un cuadrado perfecto.

Nota: Los cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25, ...

Problema 3

Se consideran todas las ternas de números enteros A, B, C tales que A² + B² + C² = 10000.

a) ¿Cuántas de ellas cumplen que 17∙A + 13∙B + 11∙C > 1001 ?

b) ¿En cuál de ellas es mayor el valor de 17∙A + 13∙B + 11∙C ?

Discutí tus soluciones de Nivel 1 en el Consultorio-CyM

Nivel 2(9^no y 10^mo año de escolaridad)

Problema 1

Cuando Ulises estaba finalizando su viaje decidió gastar sus 3 monedas de oro sobrantes comprando un souvenir para cada uno de sus 124 amigos. Los souvenirs tenían precios tan bajos que con 5 monedas de oro podía comprar 259 caballitos de madera, con 7 monedas podía comprar 333 sirenitas de mármol, y con 12 monedas podía comprar 407 carritos de guerra. ¿Cuántos souvenirs compró de cada clase, si no necesitó vuelto?

Problema 2

En un museo había una pirámide formada con pequeñas bolitas, de base cuadrada, y de manera que en la punta había 1 bolita, en el siguiente piso 4, luego 9, luego 16, 25, etc. hasta n² en la base. Cierto día, unos niños jugando tropezaron con la pirámide y la desarmaron. Las bolitas cayeron todas al piso y llenaron la sala, formando un cuadrado perfecto con más de 55 bolitas. ¿Cuántas bolitas tenía la pirámide? (Hallar alguna solución.)

Problema 3

a) Encontrar el mínimo valor que puede tomar A+B si A y B son números enteros positivos tales que A∙B es un número de cuatro o más cifras que termina en 2003.

b) Encontrar el mínimo valor que puede tomar A+B si A y B son números enteros positivos tales que A∙B es un número de cinco o más cifras que termina en 66298.

Discutí tus soluciones de Nivel 2 en el Consultorio-CyM

Nivel 3(11^er año de escolaridad en adelante)

Problema 1

Se escriben en un pizarrón los cuadrados de 50 números consecutivos (por ejemplo 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, ..., 3721). ¿Cuáles deben ser los 50 números escritos para que al sumarlos el resultado obtenido sea 26110725? ¿Es la única posibilidad?

Problema 2

Encontrar todos los números de nueve cifras de la forma ???88???? que tienen exactamente 5 divisores. (Cada ‘?’ indica un dígito.)

Problema 3

El triángulo rectángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas (0;0), (471;0) y (0;111) tiene su baricentro en el punto de coordenadas (157; 37). ¿Cuántos puntos de coordenadas enteras y en el interior del triángulo están más cerca del baricentro que de cualquiera de los vértices?

Discutí tus soluciones de Nivel 3 en el Consultorio-CyM

Archivo de Enunciados CyM Página Principal	Olimpíada Matemática Argentina    www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar