12^do Torneo de Computación y Matemática

Certamen Intercolegial

 21 de agosto de 2009

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Nivel 1(7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Encontrar dos números enteros positivos A y B, tales que uno de ellos sea par y el otro sea múltiplo de 3 (no necesariamente en ese orden) y que cumplan
207 · A + 208 · B = 66935

2

Buscar cuatro números enteros positivos P, Q, X e Y que cumplan con todas las siguientes propiedades

10000100 < P² + P · Q + Q² < 10000110
10000100 < X² + X · Y + Y² < 10000110
P² + P · Q + Q² X² + X · Y + Y²

3

Pablo Pérez Pereira, pobre pintor pamplonés, pinta preciosos paisajes por poca plata papel. Cobra tan poco que los precios de sus cuadros se miden en centavos. Por los cuadros grandes cobra 1250 centavos, por los medianos 345 centavos, y por los chicos 198 centavos. Este año recaudó 27390 centavos por sus cuadros, de los cuales 20099 corresponden al mes de mayo.
¿Cuántos cuadros de cada tipo vendió en el año y cuántos de cada tipo vendió en mayo?

Nivel 2(9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

Encontrar dos números enteros positivos A y B tales que 3 · A² - B² + 4 sea positivo y múltiplo de 77.

2

Se escriben cuatro dígitos positivos N, O, S, E en un vaso de cerámica, cada uno en su punto cardinal. Los 4 números de 4 cifras que pueden leerse girando el vaso (NOSE, OSEN, SENO, ENOS) son múltiplos de 18.
a) Hallar un ejemplo de N, O, S, E que cumplan esta condición.
b) ¿Cuántos modelos distintos de vasos puede haber que cumplan esta condición?
Nota: Los vasos 1739, 7391, 3917 y 9173 son del mismo modelo, pero el vaso 1379 es de otro modelo.

3

Durante el año pasado tres voluntarios juntaron 185893207 tapitas plásticas para la Fundación Hospital Garrahan. Cada uno juntó siempre la misma cantidad de tapitas por día, pero Carlos juntó por día el triple que Bruno, y Bruno el triple que Alfredo. Para compensar un poco, Alfredo trabajó el doble de días que Bruno, y Bruno el doble que Carlos.
¿Cuántos días trabajó cada uno? (Dar todas las soluciones válidas.)

Nivel 3(11^er año de escolaridad en adelante)

1

Encontrar un número ABCDE de cinco cifras, todas distintas de 0, tales que el número EABDC sea distinto de ABCDE y además EABDC/ABCDE sea un número entero.

2

a) Encontrar cinco números enteros positivos A, B, C, D y E tales que C sea múltiplo de A + B, D sea múltiplo de B + C, E sea múltiplo de C + D y también A + B + C + D + E = 100.

b) Entre todas las soluciones posibles (A, B, C, D, E) del punto anterior encontrar la o las que tengan el máximo valor del producto A · B · C · D · E.

3

El taller "La Precisa" fabrica estatuas mediante volcado de material fundido en moldes. Por eso todas las estatuas del mismo molde tienen exactamente el mismo peso. Como la balanza está graduada en gramos, el peso medido en gramos es un número entero.

Armaron tres pedidos, para decorar castillos: el primero con 12 gárgolas y 15 leones, el segundo con 17 gárgolas y 13 leones y el tercero con 20 gárgolas y 4 leones. Las tres cajas donde guardaron cada pedido tenían el mismo peso también, que era una cantidad entera de gramos (¡misma balanza!).

Al llegar el envío al centro de distribución descubrieron que las etiquetas eran ilegibles, así que debían identificar cada caja sin abrirla, sabiendo solamente los pesos. Una de las cajas pesaba 7622g, otra 6971g y la otra 6008g.

Determinar cuánto pesaba cada tipo de estatua y cuál pedido estaba en cada caja. ¿Hay una sola posibilidad?

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