11^er Torneo de Computación y Matemática

Certamen Zonal

 10 de octubre de 2008

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Nivel 1(7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Encontrar tres números enteros positivos impares A, B y C tales que

(A + 2·B + 3·C) · (B + 2·C + 3·A) · (C + 2·A + 3·B) = 236544

2

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación

A² + A·B + B² = 1729

en las que A y B son números enteros positivos?

3

El libro "Don Segundo Sombra" de R. Güiraldes tiene 278 páginas.

¿Cuántas veces aparece el número 3 en los números de página impares, en total?

Nivel 2(9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

Encontrar tres números enteros positivos A, B y C tales que A < B < C y

208·A + 45·B² + C³ = 8266

2

a) ¿Cuántos números primos de cuatro cifras son de la forma ABBA, con las cifras A y B distintas?

b) ¿Cuántos números primos de cuatro cifras son de la forma ACDC, con las cifras A, C y D todas distintas?

3

Llamemos s(N) a la suma de los divisores propios de N. Por ejemplo si N = 6, sus divisores propios son 1, 2 y 3, entonces s(6) = 6; en cambio si N = 12, sus divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6, entonces s(12) = 16.

a) Hallar todos los enteros positivos N menores a 1000000 tales que s(N) = N - 2.

b) Hallar todos los enteros positivos N menores a 1000000 tales que s(N) = N - 1.

c) Hallar todos los enteros positivos N menores a 1000000 tales que s(N) = N .

d) Hallar todos los enteros positivos N menores a 1000000 tales que s(N) = N + 1.

e) Hallar todos los enteros positivos N menores a 1000000 tales que s(N) = N + 2.

Nivel 3(11^er año de escolaridad en adelante)

1

Contar cuántas soluciones con X, Y y Z enteras tienen cada una de las siguientes inecuaciones:

a) 25·X² + 4·Y² + 1·Z²  102
b) 25·X² + 4·Y² + 1·Z²  1002
c) 25·X² + 4·Y² + 1·Z²  10002
 

2

Encontrar un número primo tal que la suma de sus cifras sea 55.

3

¿Cuál es la probabilidad de que si elegimos al azar 200000 números enteros desde 0 (inclusive) hasta 2³²-1 (inclusive), NO haya ni siquiera dos repetidos? Dar el resultado con 4 decimales.

Aclaración: la probabilidad de un suceso al azar es

Por ejemplo la probabilidad de que dos personas elijan al azar ambas "piedra", "papel" o "tijera" es 3/90.333, pues en 3 ("piedra" y "piedra", "papel" y "papel", etc.) de los 9 ("piedra" y "piedra", "piedra" y "papel", "piedra" y "tijera", "papel y "piedra", etc.) casos ambas personas elijen lo mismo.

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