11er Torneo de Computación y Matemática

Certamen Zonal

 10 de octubre de 2008

 
Google
Web www.oma.org.ar

Nivel 1(7mo y 8vo año de escolaridad)

1

Encontrar tres números enteros positivos impares A, B y C tales que

(A + 2·B + 3·C) · (B + 2·C + 3·A) · (C + 2·A + 3·B) = 236544

2

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación

A2 + A·B + B2 = 1729

en las que A y B son números enteros positivos?

3

El libro "Don Segundo Sombra" de R. Güiraldes tiene 278 páginas.

¿Cuántas veces aparece el número 3 en los números de página impares, en total?

 

Nivel 2(9no y 10mo año de escolaridad)

1

Encontrar tres números enteros positivos A, B y C tales que A < B < C y

208·A + 45·B2 + C3 = 8266

2

a) ¿Cuántos números primos de cuatro cifras son de la forma ABBA, con las cifras A y B distintas?

b) ¿Cuántos números primos de cuatro cifras son de la forma ACDC, con las cifras A, C y D todas distintas?

3

Llamemos s(N) a la suma de los divisores propios de N. Por ejemplo si N = 6, sus divisores propios son 1, 2 y 3, entonces s(6) = 6; en cambio si N = 12, sus divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6, entonces s(12) = 16.

a) Hallar todos los enteros positivos N menores a 1000000 tales que s(N) = N - 2.

b) Hallar todos los enteros positivos N menores a 1000000 tales que s(N) = N - 1.

c) Hallar todos los enteros positivos N menores a 1000000 tales que s(N) = N .

d) Hallar todos los enteros positivos N menores a 1000000 tales que s(N) = N + 1.

e) Hallar todos los enteros positivos N menores a 1000000 tales que s(N) = N + 2.

 

Nivel 3(11er año de escolaridad en adelante)

1

Contar cuántas soluciones con X, Y y Z enteras tienen cada una de las siguientes inecuaciones:

a) 25·X2 + 4·Y2 + 1·Z2 =< 102
b) 25·X2 + 4·Y2 + 1·Z2 =< 1002
c) 25·X2 + 4·Y2 + 1·Z2 =< 10002
 

2

Encontrar un número primo tal que la suma de sus cifras sea 55.

3

¿Cuál es la probabilidad de que si elegimos al azar 200000 números enteros desde 0 (inclusive) hasta 232-1 (inclusive), NO haya ni siquiera dos repetidos? Dar el resultado con 4 decimales.

Aclaración: la probabilidad de un suceso al azar es

cantidad de casos en que ocurre el suceso
cantidad total de casos

Por ejemplo la probabilidad de que dos personas elijan al azar ambas "piedra", "papel" o "tijera" es 3/9aproximadamente0.333, pues en 3 ("piedra" y "piedra", "papel" y "papel", etc.) de los 9 ("piedra" y "piedra", "piedra" y "papel", "piedra" y "tijera", "papel y "piedra", etc.) casos ambas personas elijen lo mismo.


<< Archivo de Enunciados << CyM << Página Principal Olimpíada Matemática Argentina
   
www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar