11^er Torneo de Computación y Matemática

Certamen Intercolegial

 12 de septiembre de 2008

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Nivel 1(7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Hallar todas las soluciones, con A y B enteros, de la ecuación

4 · A² + 2 · B² = 2008

2

Buscar dos números enteros X e Y tales que al dividir a X por 109 el resto es 19, al dividir a Y por 208 el resto es 28 y además el resultado de multiplicar X · Y es un número menor que 1000000000 que es múltiplo de 411723.

3

En el Museo de los Chicos hay tres tipos de entradas: niños, adultos y jubilados. Los tres valores son cantidades enteras de pesos. El viernes pasado concurrieron 320 niños, 67 adultos y 103 jubilados y la recaudación fue de $7132. En cambio, el sábado concurrieron 617 niños, 267 adultos y 83 jubilados y la recaudación fue de $14956. ¿Cuánto cuesta la entrada de cada clase? ¿Es la única posibilidad?

Nivel 2(9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

Hallar todas las soluciones, con A, B y C enteros, de la ecuación

2008 · A² + 2009 · B² + 2010 · C² = 14241444

2

a) Entre todos los múltiplos de 2008, ¿cuántos tienen 6 cifras?

b) Entre todos los múltiplos de 2008 terminados en 4, ¿cuántos tienen 6 cifras? Por ejemplo 166664, 467864, 628504, etc.

3

N es un entero positivo que tiene exactamente 9 divisores y sus divisores suman 187131. ¿Cuánto vale N?

a) Encontrar 1 solución.

b) Encontrar todas las soluciones. Por ejemplo, 6 tiene 4 divisores, que suman 1 + 2 + 3 + 6 = 12.

Nivel 3(11^er año de escolaridad en adelante)

1

Sea s(N) la suma de los divisores propios de N. Por ejemplo s(6) = 1 + 2 + 3 = 6, s(7) = 1, s(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, s(16) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15, s(s(12)) = s(16) = 15, etcétera.

Hallar A y B enteros positivos tales que A, B, s(A) y s(B) son todos distintos, y A + B = s(A) + s(B) = s(s(A)) + s(s(B)).

2

¿Cuántas veces aparece "32" en el número
12345678910111213...282006282007282008
que resulta de concatenar todos los números del 1 al 282008?

Por ejemplo "21" aparece 2 veces en
12345678910111213141516171819202122232425262728.

3

En un tablero rectangular formado por 2009 x 1315 casillas cuadradas se coloca una ficha circular blanca en el centro de cada casilla. Luego se pinta de verde la ficha de la casilla central y se pintan de rojo las cuatro fichas de las casillas de las esquinas. Finalmente, se pintan de amarillo todas las fichas blancas que están más cerca de una ficha roja que de la ficha verde. ¿Cuántas fichas blancas quedan sin pintar?

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