10^mo Torneo de Computación y Matemática

Certamen Zonal

 12 de octubre de 2007

Web www.oma.org.ar

Nivel 1(7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Elegir cuatro números enteros positivos A; B; C y D tales que

A² + B² + C² + D² = 758

A⁴ + B⁴ + C⁴ + D⁴ = 164882

2

Buscar tres números enteros de una cifra A, B y C, tales que

1A1 · 2B2 · 3C3 = 16480926

Nota: 1A1 indica el número de tres cifras formado por 1, A y 1.

3

En un extraño país sólo hay billetes de $27, $35 y $489. Después de hacer las compras, doña Rosa paga con un billete de $489. El comerciante se da cuenta de que si hubiera comprado también un chocolate de $2 entonces podría darle todo el vuelto con billetes de $27. En cambio, si hubiera comprado también un alfajor de $5 (pero no el chocolate) podría darle todo el vuelto con billetes de $35.

a) ¿Cuánto había gastado doña Rosa? ¿Hay un único valor posible?

b) ¿Es posible que el comerciante le dé el vuelto usando billetes de $27 y $35?

Nivel 2(9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

Se consideran todas las ternas de números enteros positivos X, Y y Z tales que

X + 2 · Y + 3 · Z = 2007

y para cada una de ellas se calcula el producto

X · Y · Z

a) ¿Es posible obtener un número mayor a 50000 como resultado de esta multiplicación?

b) ¿Es posible obtener un número mayor a 1000000?

c) ¿Cuál es el número más grande que se puede obtener?

2

Encontrar dos cifras no nulas A y B tales que los números A000B y B000A son ambos primos.
Nota: Los primos positivos son los números enteros mayores que 1 que sólo pueden dividirse por 1 y por si mismos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Nota: A000B indica el número de cinco cifras formado por A, tres ceros y B.

3

Se quiere hacer un mosaico de 100x100 cuadraditos formado por cuadraditos de 1x1. Estos se compran en planchas de 30x30, 31x31, 32x32, 33x33, ... cuadraditos de 1x1. Se deben comprar planchas de dos tipos, pues cada tipo es de un color diferente, y el mosaico debe llevar cuadraditos mezclados en 2 colores. Además por motivos ecológicos se quiere que no sobre ningún cuadradito al terminar el trabajo. ¿Cuáles son los posibles tamaños de cada tipo de planchas? ¿Cuántas se deben comprar de cada una en cada caso?

Nivel 3(11^er año de escolaridad en adelante)

1

Hallar enteros positivos A, B, C, D y E tales se cumplan simultáneamente las todas las siguientes ecuaciones

A + B + C + D + E = 180

A + 2 · B + 3 · C + 4 · D + 5 · E = 540

A + 4 · B + 9 · C + 16 · D + 25 · E = 1860

A + 8 · B + 27 · C + 64 · D + 125 · E = 7020

A + 16 · B + 81 · C + 256 · D + 625 · E = 28116

2

Buscar cifras no nulas A, B, C, D, E, F, G y H, no necesariamente distintas tales que los números ABCDEFGH, ACEG, AE y A sean primos.

Nota: Los primos positivos son los números enteros mayores que 1 que sólo pueden dividirse por 1 y por si mismos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Nota: ACEG indica el número de cuatro cifras formado por A, C, E y G.

3

Se tiene un círculo de radio 1000 y se lo divide en dos partes con un segmento que tiene ambos extremos sobre la circunferencia. Estos puntos dividen a la circunferencia también en dos partes. Notablemente, la parte más grande en que queda dividida la circunferencia tiene el doble de la longitud del segmento trazado. Aproximar la longitud del segmento, con un error menor que 1.

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