10mo Torneo de Computación y Matemática

Certamen Intercolegial

 24 de agosto de 2007

 
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Nivel 1(7mo y 8vo año de escolaridad)

1

Encontrar dos números enteros positivos X e Y tales se cumplan las siguientes dos ecuaciones simultáneamente

X2 + Y2 = 999297

72 · X + 27 · Y = 76869

2

Encontrar tres números enteros positivos X, Y y Z tales que sean todos divisores de 20077002 y su suma sea 299.

3

Se tiene un reloj que está a las 00:27 (0 horas, 27 minutos) y que tiene dos botones. Si se toca un botón la hora sube en 37 minutos, si se toca el otro sube en 41. ¿Es posible hacer que el reloj marque alguna hora en punto tocando los botones, sin que el reloj avance más de un día?

 

Nivel 2(9no y 10mo año de escolaridad)

1

Elegir cuatro números enteros positivos A; B; C y D tales que

(A2 + B2) · (C2 + D2) = 165681

2

Encontrar cuatro divisores enteros positivos de N = 2007014018 que sean distintos de 1 y del número N.

Nota: Los divisores de 12 que no son ni 1 ni 12 son 2, 3, 4 y 6.

3

En un zoológico tienen una exposición de ciempiés y milpiés, pero ninguno de ellos tiene exactamente 100 ni 1000 pies. La mitad de los ciempiés tiene 46 pies (cada uno) y la otra mitad tiene 86 (cada uno). La mitad de los milpiés tiene 92 pies (cada uno) y la otra mitad tiene 102 (cada uno). En la exposición hay en total 7002 pies. ¿Cuántos animales de cada tipo hay?

 

Nivel 3(11er año de escolaridad en adelante)

1

Hallar todas las posibles elecciones de dígitos no nulos A, B, C, D, E y F tales que

9 · ABC · DEF = 8 · BCD · EFA

Nota: ABC indica el número de tres cifras formado por los dígitos A, B y C.

2

Buscar un número de 8 cifras que empiece con 2007 y que tenga exactamente 360 divisores positivos.

Nota: Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

3

Un comerciante puede comprar paquetes de hongos comestibles de distintos tamaños. Cada paquete le da una ganancia distinta según la siguiente tabla:
Peso (Kg) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ganancia ($) 10 26 43 52 53 56 71 87 95 100
Por restricciones aduaneras sólo puede comprar hasta 20 paquetes (inclusive) y que en total pesen hasta 100Kg (inclusive). Además quiere elegir sólo dos tamaños porque son más fáciles de comercializar. ¿Qué tamaños debe elegir para obtener la máxima ganancia posible? ¿Cuántos paquetes de cada uno de esos dos tamaños?

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