9^no Torneo de Computación y Matemática

Segunda Ronda

 6 de octubre de 2006

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Nivel 1(7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Encontrar tres números enteros positivos X; Y; Z que cumplan  con las siguientes dos ecuaciones

3 · X + 7 · Y - 8 ·  Z = 0

5 · X - 9 · Y - 6 ·  Z = 0

2

Encontrar un número de cinco cifras A4B6C que sea múltiplo de 2006.

3

Elena elige un número entero positivo X y anota en unos papelitos los números X; X²; X³; X⁴; X⁵ para poder sumarlos. Mientras busca su calculadora uno de ellos se pierde así que solamente suma cuatro de los números (y como estaba medio distraída no se dio cuenta). El resultado que obtuvo fue 271308. ¿Cuál fue el número que eligió y cuál papelito perdió?

Nivel 2(9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

Buscar dos números de una cifra A y B tales que

AB · ABAB · AABB = 154713416

Nota: En la fórmula, AB es un número de dos cifras, y ABAB y  AABB  son números de cuatro cifras.

2

Encontrar un número entero positivo que sea divisor de 17784 y que tenga exactamente 18 divisores.

Nota: El número 12 tiene 6 divisores que son 1, 2, 3, 4, 6, 12.

3

Beremiz cuenta la cantidad de formas distintas de elegir números enteros positivos A; B; C tales que A + B + C = 100

Samir, en cambio, cuenta solamente las posibilidades anteriores en las que A £ B £ C.

Calcular el cociente de la división entre ambos números.

Nota: No, no da 6.

Nivel 3(11^er año de escolaridad en adelante)

1

Encontrar un número primo de cuatro cifras ABCD tal que si se le agrega un 1 al principio y otro al final, el número 1ABCD1 también sea primo.

2

Se sabe que ABCD y EFGH son dos números enteros positivos de cuatro cifras tales que ABCD - EFGH = 2006. Además, cada una de las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 8 aparece al menos una vez en ABCDEFGH, y las restantes cifras no aparecen.

Hallar la combinación en la que ABCD + EFGH sea máximo.

3

Sobre una recta se dibuja una linda guarda, formada por infinitas semicircunferencias, con sus centros separados todos por la misma distancia y todas de radio 1. Las semicircunferencias consecutivas se superponen un poco, y su intersección se pinta de negro, quedando las partes centrales en blanco.

¿Cuál tiene que ser la distancia entre sus centros para que cada parte blanca tenga la misma área que cada parte negra? Aproximar la respuesta con un error menor de 0,001.

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