7^mo Torneo de Computación y Matemática
Tercera Ronda

Capital Federal - 17 al 19 de diciembre de 2004

Nivel 1 (7^mo y 8^vo año de escolaridad)

Primer día

1

Hallar todos los números enteros x entre 2 y 21 inclusive tal que x⁷-1 tenga menos de 9 divisores.

2

Javier toma un cuadrado de lado 2004, y va recortando cuadraditos de lado 1, lado 2, lado 3, etc., todos pegados al borde superior, hasta que ya no le entran más como muestra la figura. ¿Qué área queda sin recortar?

3

Considerar el siguiente enunciado:
"Un grupo de ciclistas recorrió 130?km a lo largo de varios días. Los días soleados recorren 48km, y los que no lo son, 2?km. ¿Cuántos días soleados hubo y cuántos días les llevó en total?"
Llenar los ? para que el problema tenga solución única, donde ? indica una cifra, no necesariamente la misma en todos los casos.

Segundo día

4

Se tienen tres enteros positivos a, b, c tales que:
a + b + c = 105
a² + b² + c² = 4949.
Calcular todos los posibles valores de a³+b³+c³ .

5

Se quieren repartir 1000 pesos entre el primer, segundo y tercer puesto de un concurso. Los tres premios deben ser distintos, sin centavos, y obviamente el primero debe recibir más que el segundo, etc. ¿De cuántas formas distintas es posible hacer esto?

6

Decimos que un entero positivo es suave si dos cifras consecutivas difieren en a lo sumo 1.
Por ejemplo: 12345, 33, 6, 121212, etc.
a) Hallar un primo suave mayor a 100000.
b) Contar cuántos primos entre 100000 y 1000000 son suaves.

Nivel 2 (9^no y 10^mo año de escolaridad)

Primer día

1

Harmann escribe los números enteros positivos en un pizarrón suficientemente grande, de la siguiente manera:
- en la fila 1, columna 1, escribe el número 1;
- luego, para cada número n = 2, 3, 4, ... en orden, lo escribe en la primer fila que no contenga divisores de n, en la primer columna libre.
Empieza así:

a) Encontrar en que fila escribe el 2004
b) Encontrar en que fila escribe el 241001
c) Encontrar en que columna escribe el 2004

2

Dados cuatro números enteros a, b, c, d y cuatro números enteros no negativos i, j, k, l se define
p(x) = a · xⁱ + b · x^j + c · x^k + d · x^l
Por ejemplo si a=2, b=-3, c=10 y d=7 y i=4, j=0, k=2 y l=6 entonces
p(8)= 2 · 8⁴ + (-3) · 8⁰ + 10 · 8² + 7 · 8⁶ = 1843837
Encontrar una posible elección de los valores de a, b, c, d, i, j, k, l sabiendo que
p(1)= 16
p(2)= 240
p(5)= 81540
p(6)= 286896
Nota: el 0 es un entero no negativo, y x⁰ siempre vale 1, sin importar el valor de x.

3

Se definen los números pinchas de la siguiente manera.
El 1 es pincha.
Un número entero mayor que 1 es pincha si y sólo si la suma de los cuadrados de sus cifras es un número pincha menor.
¿Cuál es el mayor número pincha estrictamente menor a
1.000.000.000.000.000.000.000.000? (un cuatrillón, es decir, un 1 con 24 ceros atrás)

Segundo día

4

Un primo es siamés si y sólo si el número que se obtiene al dar vuelta sus cifras también es primo. Por ejemplo al dar vuelta las cifras de 87132 se obtiene 23178, que no son primos. Pero por ejemplo 13 es un primo siamés, de dos cifras. ¿Cuántos primos siameses de 5 cifras hay?

5

Brian pensó la siguiente sucesión:
1, 11, 21, 1211, 1231, 131221, 132231, 232221, 134211, 14131231, etc.,
en este caso el primer término es 1, y a partir del segundo, cada término se forma así: se cuenta las veces que aparece cada cifra (9,8,7,...,1) en el término anterior, anotando la cantidad de veces que dicha cifra aparece, seguida de la cifra. Por ejemplo, en 134211 tenemos un cuatro, un tres, un dos y tres unos, que forman 14131231. Si alguna cifra no está no se anota nada, por ejemplo 12501->15122110.
Si se empieza por 102 tenemos otro ejemplo, que es: 102, 121110, 124110, etc.
a) Encontrar el término en la posición 2004, si el primer término es 2009.
b) Hallar un valor para el primer término (o sea, X) de manera que la sucesión sea de la forma X, Y, Z, X, Y, Z, ... con X, Y y Z distintos.

6

a) ¿De cuántas maneras se pueden pintar de blanco y de negro 7 puntitos en fila sin que haya tres juntos (contiguos) de color negro?
b) ¿Y si son 14 puntitos?
c) ¿Y si son 21 puntitos?
d) ¿Y si son 28 puntitos?

Nivel 3 (11^er año de escolaridad en adelante)

Primer día

1

Uno de los momentos centrales del juego del TEG es el combate. Consideremos algo que pasó una vez, China ataca a Kamtchatka.
El atacante (China) usa 3 dados. El defensor (Kamtchatka) usa 2 dados. El atacante y el defensor tiran cada uno sus dados, y los ordenan de mayor a menor por puntaje obtenido. Luego comparan los dados, el mayor con el mayor, el siguiente con el siguiente, etc., descartando el dado sin pareja.
Si cierto dado del atacante es estrictamente mayor que el correspondiente dado del defensor, le corresponde un éxito al atacante. Si fuera menor o igual, le corresponde un éxito al defensor.
Ejemplo: China tira y obtiene 3,1,6; Kamtchatka 4,3. Se comparan los dados:
China 6 vs Kamtchatka 4: éxito para China.
China 3 vs Kamtchatka 3: éxito para Kamtchatka.
El tercer dado de China se descarta.
Calcular la probabilidad de que China obtenga 2 éxitos.
Nota: la probabilidad es casos favorables / casos totales. Por ejemplo con un dado cada uno, hay 15 casos favorables (6 vs 5, 6 vs 4, etc.) y 36 casos totales o posibles, entonces la probabilidad es 15 / 36  0.41666...

2

Todos los números de la forma x⁶-1, con x entero estrictamente mayor que 3, tienen 16 o más divisores positivos.
a) encontrar un ejemplo con exactamente 16 divisores
b) dar otro ejemplo con exactamente 16 divisores (distinto del de a).
c) demostrar que efectivamente todos los números de la forma x⁶-1, con x entero estrictamente mayor que 3, tienen 16 o más divisores positivos.

3

En un patio rectangular de 11x10 baldosas cuadradas se marcan 9 intersecciones cerca de la esquina inferior izquierda formando un cuadrado, y 9 intersecciones cerca de la opuesta como se ve en la figura. Luego se unen con tiza las primeras 9 intersecciones con las otras 9 intersecciones, todas con todas, formando en total 81 segmentos.
Una hormiga camina desde el centro de la baldosa en la posición (4,4) contando desde la esquina inferior izquierda, hasta el centro de la baldosa (8,7) contando desde la misma esquina, como se ve en la figura.
Sin tener en cuenta los segmentos de tiza que pasan por los extremos del camino de la hormiga:
a) ¿Cuál es el primer segmento de tiza que pisa la hormiga en su trayecto?
b) ¿Qué distancia recorre desde que empieza a caminar hasta pisar este segmento?
Aclaración: Es posible que no haya intersección con algunos segmentos.

Segundo día

4

Encontrar un número entero de 6 cifras ABCDEF, todas distintas de cero, tal que
BCDEFA + DEFABC + EFABCD + FABCDE = 1386029

5

Se define el entrelazamiento de dos enteros distintos a y b como el mayor entero positivo k tal que a y b no son coprimos, a+1 y b+1 no son coprimos, a+2 y b+2 no son coprimos, ..., a+(k-1) y b+(k-1) no son coprimos.
Por ejemplo, el entrelazamiento de 3 y 5 es 0, el de 4 y 14 es 3, etc.
a) Hallar a y b distintos con máximo entrelazamiento si a y b son menores que 1000.
b) Hallar a y b distintos con máximo entrelazamiento si a y b son menores que 3000.

6

El Nim es un popular juego para dos jugadores, que tiene muchas variantes. En la que prefiere Pablo el "tablero" inicial consiste en 4 filas. Los jugadores juegan alternadamente por turnos. En su turno, un jugador elige una fila y tacha de ella una cierta cantidad de palitos, empezando desde la izquierda. Siempre se debe tachar al menos un palito. Los palitos tachados deben ser contiguos y estar todos en la misma fila (y estar pegados al extremo izquierdo). La figura muestra una partida posible.

Gana el jugador que tacha el último palito, o sea que pierde el que ya no puede tachar ningún palito.
a) Contar cuántas posibles partidas hay cuando el tablero inicial es 1-2-3-4.
b) Contar cuántas posibles partidas hay cuando el tablero inicial es 1-3-5-7.
Suponiendo que los dos jugadores son realmente muy astutos y nunca se equivocan:
c) Decidir quién de los dos jugadores (el primero o el segundo) gana la partida, por más que su oponente no se equivoque nunca, cuando el tablero inicial es 1-2-3-4 .
d) Decidir quién de los dos jugadores (el primero o el segundo) gana la partida, por más que su oponente no se equivoque nunca, cuando el tablero inicial es 1-3-5-7.

Archivo de Enunciados CyM Página Principal	Olimpíada Matemática Argentina    www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar