f(2 * n)+3 si n es compuesto
6to
Torneo de Computación y Matemática
Tercera
Ronda
Capital Federal - 15 al 17 de diciembre de 2003
Nivel 1 (7mo y 8vo año de escolaridad)
Primer día
1
a) Encontrar tres números enteros
positivos A; B y C tales que A2
+ B3 + C4 = 2002
b) Dar todas las posibilidades
Nota: El cero no es un número positivo.
2
Una maqueta de una molécula está formada pegando pelotitas negras y blancas. Cada pelotita negra pesa 160g y cada pelotita blanca pesa 15g (el peso del pegamento es despreciable). La maqueta pesa en total 1810g. Además se sabe que la cantidad de pelotitas blancas es par, y que el doble de la cantidad de pelotitas negras es siempre mayor o igual que la cantidad de pelotitas blancas. Determinar cuántas pelotitas de cada color hay en la maqueta.
3
a) Encontrar un número entero positivo
mayor que 10000 y menor que 100000, que termine en 8 y que tenga
exactamente 72 divisores
b) Encontrarlos a todos.
Nota: El número 12 tiene 6 divisores que son: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Segundo día
4
a) Encontrar tres números enteros
positivos consecutivos tales que su producto es un número de 5
cifras, cuyo dígito del medio es un 5.
b) ¿Son todos?
Nota: El número 04321 tiene sólo 4 cifras, 23928 tiene cinco
cifras y el dígito del medio es 9.
5
Javier tiene una colección completa de
boletos muy especiales, todos con números distintos. Cada boleto
tiene impreso un número entero positivo capicúa de 7 cifras que
además es múltiplo de 7.
¿Cuántos boletos hay en la colección?
Nota: Los números 1823281, 2222222,1010101 son capicúa. Los
números 1234567, 0123210, 9199929 no son capicúa.
6
Un número entero positivo es casiprimo si
es igual al producto de dos números primos distintos. Por
ejemplo 6, 21, 65, 202 son casiprimos, pero los números 1, 2, 9,
12, 30, 125 no son casiprimos.
Calcular la suma de todos los números casiprimos menores que
10000.
Nivel 2 (9no y 10mo año de escolaridad)
Primer día
1
Elegir un número entero positivo N
de manera que la ecuación X2 + X*Y +
Y2 = N tenga exactamente 5
soluciones en las cuales X e Y son números enteros
positivos.
Nota: El cero no es un número positivo.
2
Se escriben en un pizarrón 100 números
enteros consecutivos (por ejemplo 135, 136, 137, ...232, 233,
234) y después se borran todos los que terminan en 7 o son
múltiplos de 7 (por ejemplo 47, 63, 77, ...).
Al calcular la suma de los números que quedaron se obtiene
108088. ¿Cuáles eran los 100 números escritos originalmente?
3
Definamos la función f, que a cada número entero positivo n le asigna un número entero positivo, de la siguiente manera:
f(1) = 1
f(3) = 3
f(2 * n) = 2 * f(n)
| f(2 * n+1) = | |
f(2 * n)+1 si n
es primo, f(2 * n)+3 si n es compuesto |
Por ejemplo, f(9) = 11.
a) Hallar todos los n tal que f(n)
= 127.
b) Hallar todos los n tal que f(n) = 189.
c) Hallar todos los n tal que f(n) = 2169.
d) Hallar todos los n tal que f(n) = 999999.
Segundo día
4
Calcular el promedio de las distancias
entre cada número capicúa de 5 cifras y el siguiente número
del mismo tipo. (La distancia entre a y b, siendo a
£ b,
es b-a.)
Nota: Los números 18381, 22222,11011 son capicúa. Los números
12345, 01310, 91929 no son capicúa.
5
Matías estuvo mirando las potencias de 2
que son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... y encontró algunas con
propiedades interesantes.
a) Buscar todas las potencias de 2 que no tienen cifras
repetidas.
b) Buscar todas las potencias de 2 en las que cada cifra aparece
a lo sumo 2 veces..
6
a) Calcular la longitud del periodo de
355/113
b) Calcular la longitud del periodo de 1/12581
Nota: La longitud de periodo de la fracción 3/5 es 0, de 7/6 es
1, de 1/7 es 6, etc.
Nivel 3 (11er año de escolaridad en adelante)
Primer día
1
Encontrar tres números enteros positivos X; Y y Z tales que el resultado de su suma esté entre 379 y 397, y que el resultado de su multiplicación este entre 1513605 y 1513650.
2
a) Reordenar los dígitos 98765432 para
obtener un número primo (de 8 dígitos).
b) ¿Cuántos son los números primos distintos que se pueden
obtener así?
3
a) Hallar funciones lineales f y g tales que si a y b son números enteros no negativos tales que 0 £ a £ b
b) Demostrar la identidad hallada en a).
Nota: El combinatorio se calcula como 
.
El factorial se define como 0!=1 y si n
es un entero positivo entonces n!=(n-1)!*n.
Por ejemplo 5!=120 y .gif){kind=small}
Una función f(a,b) es una función lineal si la podemos calcular usando la fórmula f(a,b) = c*a + d*b + e en donde c, d y e son números fijos.
Segundo día
4
Se dibujan dos círculos de radio R, cuyos centros están a una distancia de 10cm. La superficie de la intersección de estos dos círculos es de 15cm2. Calcular el valor de R con un error menor que 0,0001.
5
La función InvCif consiste en
invertir el orden de los dígitos de un número entero positivo.
Por ejemplo InvCif (7) = 7, InvCif (2003) = 3002, InvCif
(210) = 12, InvCif (012) = 21, etc.
Definimos la función f(n) = InvCif (n)
+ 2 , donde n es un número entero positivo.
Para cada número entero positivo n,
consideramos la sucesión
a0 = n,
ai+1 = f(ai)
si i > 0
Por ejemplo, comenzando en n=2003 tenemos: a0
= 2003, a1 = 3004, a2 = 4005,
etc.
Para cada valor inicial n puede ocurrir que
a) Pablo quiere caracterizar el comportamiento asintótico de cada sucesión con término inicial n para todos los n, 1 £ n £ M, con M = 10000.
O sea, se pide:
i) Dar ejemplos de a0=n (1 £ a0 £ M) donde no se
alcanza ciclo, si existen.
ii) Dar todos los ciclos que ocurran (si ocurre alguno),
indicando algún valor del ciclo.
b) Idem a), con M = 100000. (nota:
esta parte es difícil)
c) Idem a), con M = 1000000. (nota: esta parte es
difícil)
6
La función RestoM(k) calcula el resto de la división entera del número k dividido por el número M, donde M son números enteros positivos, y k es un entero no negativo. Por ejemplo Resto100(4557)=57, Resto83(0)=0, Resto9(168)=6.
a) Fijando el valor de M=39 se
realiza el siguiente procedimiento:
Se toma cada terna de números enteros positivos (a,b,c)
con 0 £ a,b,c
<M y se calcula la sucesión
x0 = c
xn+1 = RestoM (
xn2 + a * xn + b)
Luego se cuenta la cantidad de ternas (a,b,c)
tales que en la sucesión correspondiente vuelve a aparecer c.
b) Idem a) con M=99
c) Idem a) con M=399 (nota: esta parte es difícil)
d) Idem a) con M=999 (nota: esta parte es difícil)
e) Idem a) con M=3999 (nota: esta parte es difícil)
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