IX Olimpíada Matemática del Cono Sur
Prueba de Selección

23 y 24 de Abril de 1998

1

Utilizando exactamente una vez cada dígito 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, se forman números de una cifra o de dos cifras y luego se suman. Por ejemplo,

10 + 2 + 73 + 48 + 9 + 56 = 198, 3 + 0 + 2 + 47 + 5 + 68 + 91 = 216, etc.

Hallar todos los múltiplos de 13 que pueden obtenerse como resultado en alguna de estas sumas.

2

Se tienen dos círculos de papel, iguales entre sí, uno celeste y el otro amarillo. Al círculo amarillo se le recorta un sector circular de 20^o de amplitud.
Matías marca en el círculo celeste 163 puntos distintos de modo que ninguno de ellos esté en el centro y que no queden dos o más puntos marcados sobre un mismo radio.
Laura coloca el círculo amarillo sobre el celeste, haciendo coincidir los centros, y de este modo sólo queda visible un sector del círculo celeste.
Laura gana si en el sector celeste visible hay exactamente 10 de los puntos que marcó Matías.
Decidir si Matías puede marcar los 163 puntos de modo que a Laura le sea imposible ganar.

3

Se tienen 1998 piedras. Se sabe que una de ellas pesa 1kg y otra pesa 2kg, pero se ignora cuánto pesan las demás. Si se divide el conjunto de piedras en tres grupos de 666 piedras cada uno, no importa cómo se haga esta división, al menos dos de los grupos pesan lo mismo. Determinar todos los posibles valores del peso total de las 1998 piedras.

4

Hallar un número N de 200 cifras tal que la suma de las cifras de N sea 100, la suma de las cifras del producto 6.N sea 600 y la suma de las cifras del producto 59.N sea 518.

5

En el pizarrón están escritos N números: el primero igual a 0 y los restantes N-1 iguales a 1.
La operación permitida es borrar dos números del pizarrón, a elección, y en cada uno de los dos lugares que quedaron vacíos escribir el promedio de los dos números recién borrados. Al finalizar cada operación permitida se tienen nuevamente N números escritos en el pizarrón.
Hallar todos los valores de N para los cuales es posible, mediante una sucesión de operaciones permitidas, tener finalmente escritos en el pizarrón N números iguales.

6

Sea ABC un triángulo. La bisectriz del ángulo CAB intersecta a BC en D y la bisectriz del ángulo ABC intersecta a CA en E. Si AE+BD=AB, demostrar que BCA=60^o.

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