IX Olimpíada Matemática del Cono Sur

Junio de 1998. San Salvador de Bahía, Brasil

1

Se dispone de 98 tarjetas. En cada una de ellas está escrito uno de los números 1, 2, 3, ..., 98 (no hay números repetidos). Se desea ordenar las 98 tarjetas de modo tal que, al considerar dos tarjetas consecutivas, la diferencia entre el número mayor y el número menor escritos en ellas sea siempre mayor que 48. Indicar cómo y de cuantas formas es posible efectuar la ordenación.

2

Sean H el ortocentro (intersección de las alturas) del triángulo acutángulo ABC y M el punto medio del lado BC. Sea X el punto en que la recta HM intersecta el arco BC (que no contiene A) de la circunferencia circunscrita a ABC. Sea y el punto de intersección de la recta BH con la circunferencia, distinto de B. Demuestre que XY = BC.

3

Pruebe que, por lo menos para el 30% de los naturales n entre 1 y 1.000.000, el primer dígito de 2ⁿ es 1.

4

Determine todas las funciones f tales que

f(x²) - f(y²) + 2x + 1 = f(x + y) · f(x - y)

cualesquiera que sean los números reales x, y.

5

En Terra Brasilis existen n casas donde viven n duendes, cada uno en una casa. Hay rutas de sentido único tales que:

• cada ruta une dos casas;

• en cada casa comienza exactamente una ruta;

• en cada casa termina exactamente una ruta.

Todos los días, a partir del día 1, cada duende sale de la casa donde está y llega a la casa vecina. Una leyenda de Terra Brasilis dice que, cuando todos los duendes vuelvan a la posición original, se acabará el mundo.

1. Demuestre que el mundo se acabará.

2. Si n = 98, demuestre que es posible que los duendes construyan y orienten las rutas de modo que el mundo no se acabe antes de 300.000 años.

6

El alcalde de una ciudad desea establecer un sistema de transportes con por lo menos una línea de ómnibus, en el cual:

1. cada línea pase exactamente por tres paradas (paraderos);

2. cada dos líneas distintas tengan exactamente una parada en común;

3. para cada dos paradas de ómnibus distintas haya exactamente una línea que pase por ambas.

Determine el número de paradas de ómnibus de la ciudad.

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