8a Olimpíada Matemática del Cono Sur

Prueba de Selección

Primer día

1. Consideramos los números enteros n, 1 n 100. ¿Para qué valores de n existe por lo menos un número natural de n cifras que es múltiplo impar de 13 y tiene la suma de cifras igual a 4?

2. Hallar siete primos distintos, p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, menores que 1000, tales que

p7 - p6 = p6 - p5 = p5 - p4 = p4 - p3 = p3 - p2 = p2 - p1

3. Dado el triángulo ABC tal que el menor de sus ángulos es , sean O el punto de interseción de las mediatrices e I el punto de intersección de las bisectrices. Si D y E son puntos de los lados AB y CA, respectivamente, tales que BD=CE=BC, demostrar que OI y DE son perpendiculares y de igual longitud.

Segundo Día

4. Sea ABC un triángulo acutángulo y CD la altura correspondiente al vértice C. Si M es el punto medio de BC y N es el punto medio de AD, calcular MN sabiendo que AB=8 y CD=6.

5. Hay 101 bolillas, numeradas de 1 a 101, distribuidas en dos bolilleros, A y B. La bolilla 40 está en el bolillero A. Si se pasa esta bolilla al bolillero B, el promedio de los números de las bolillas de A aumenta en 1/4 y el promedio de los números de las bolillas de B aumenta también en 1/4. ¿Cuántas bolillas tenía inicialmente el bolillero A?

6. En un grupo de n personas, cada dos de ellas son amigos o enemigos y cada una tiene exactamente 10 enemigos. Además se cumple la ley

"Los enemigos de mis amigos son mis enemigos"

¿Qué valores puede tener n?

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