21 al 25 de Abril de 1997. Asunción, Paraguay.

1. A cada número entero positivo n, n 99, le restamos la suma de los cuadrados de sus cifras. ¿Para qué valores de n esta diferencia es la mayor posible?

2. Sea C una circunferencia de centro O, AB un diámetro de ella y R un punto cualquiera en C distinto de A y de B.
Sea P la instersección de la perpendicular trazada por O a AR.
Sobre la recta OP se ubica Q, de manera que QP es la mitad de PO, Q no pertenece al segmento OP.
Por Q trazamos la paralela a AB que corta a la recta AR en T.
Llamamos H a la intersección de las rectas AQ y OT.
Probar que H, R y B son colineales.

3. Demostrar que existen infinitas ternas (a, b, c), con a, b, c números naturales, que satisfacen la relación:

Segundo Día

4. Considere un tablero de n filas y 4 columnas.
En la 1^a fila se escriben 4 ceros (uno en cada casilla) y luego, cada fila se obtienen de la fila anterior realizando la siguiente operación: una de las casillas, a elección se deja como está, y las otras tres se cambian: si había un 0 se pone 1, si había 1 se pone 2, si había 2 se pone 0.
Construya un tablero lo más grande posible con todas sus filas distintas y demuestre que es imposible construir uno mayor.

5. Sea n un número natural, n > 3.
Demostrar que entre los múltiplos de 9 menores que 10ⁿ hay más números con la suma de sus dígitos igual a 9(n-2) que números con la suma de sus dígitos igual a 9(n-1).

6. Considere un triángulo acutángulo ABC, y sea X un punto en el plano del triángulo.
Sean M, N y P las proyecciones ortogonales de X sobre las rectas que contienen a las alturas del triángulo ABC. Determinar para qué posiciones de X el triángulo MNP es congruente con ABC.