Perú. 1996

1. Un cuadrado ABCD se divide en dos cuadrados y tres rectángulos, como se muestra en la figura: El área de cada uno de los cuadrados es a y el área de cada uno de los dos rectángulos más pequeños es b. Si a + b = 24 y la raiz cuadrada de a es un número natural, hallar todos los valores posibles del área del cuadrado ABCD.

2. Considerar una sucesión de números reales definida por:

a_{n + 1} = a_n + 1/a_n para n = 0, 1, 2, ...

Demostrar que, cualquiera que fuera el número real positivo a₀, se cumple que a₁₉₉₆ es mayor que 63.

3. Una tienda vende envases con las siguientes capacidades: 1 litro, 2 litros, ... 1996 litros. Los precios de los envases satisfacen las dos condiciones siguientes:

1. Dos envases cuestan lo mismo y sólo sí sus capacidades m, n (m>n) satisfacen m - n = 1000.
2. Cada envase de m litros de capacidad (1 m 1000) cuesta 1996 - m dólares.

Hallar todos los pares de envases de m y n litros tales que:

1. m + n = 1996
2. el costo total del par sea el menor posible,
3. con el par se pueda medir k litros, para todo k entero desde 1 hasta 1996.

NOTA: Las operaciones permitidas para medir son:

1. Llenar o vaciar cualquiera de los dos envases.
2. pasar líquido de un envase a otro.

Se ha logrado medir k litros cuando la cantidad de litros de un envase mas la cantidad de litros del otro, es igual a k.

4. La sucesión 0, 1, 1, 1, ... , 1 contiene 1996 números, siendo el primero cero y todos los demás unos. Se eligen dos o más números cualesquiera de la sucesión (pero no toda la sucesión) y se sustituye uno de ellos por la media aritmética de los números elegidos, obteniéndose así una nueva sucesión de 1996 números.
Probar que, con la repetición de esta operación, es posible obtener una sucesión en la cual los 1996 números son iguales.
NOTA: En cada operación no necesariamente se debe elegir la misma cantidad de números.

5. Se pretende cubrir totalmente un cuadrado de lado k (k entero mayor que uno) con los siguientes rectángulos: 1 rectángulo de 1 x 1, 2 rectángulos de 2 x 1, 4 rectángulos de 3 x 1, ... , 2ⁿ rectángulos de (n+1)x1, de tal manera que los rectángulos no se superpongan ni excedan los límites del cuadrado.
Hallar todos los valores de k para los cuales esto es posible y, para cada valor de k encontrado, dibujar una solución.

6. Hallar todos los números enteros n 3 tales que exista un conjunto S_n formado por n puntos del plano que satisfagan las dos condiciones siguientes:

1. Tres puntos cualesquiera no son colineales.
2. Ningún punto se encuentra en el interior del círculo cuyo diámetro tiene por extremos a dos puntos cualesquiera de S_n.

NOTA: Los puntos de la circunferencia no se consideran interiores al círculo.

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