Uruguay. 1994

1. El entero positivo N tiene 1994 cifras. De estas, 14 son iguales a cero y los números de veces que aparecen las demás cifras: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, están en la razón 1:2:3:4:5:6:7:8:9, respectivamente.
Demostrar que N no es un cuadrado perfecto.

2. Se considera una circunferecia (C) de diámetro AB=1 . Se elige un punto P₀ en la circunferencia, distinto de A, y a partir de P₀ se construye una sucesión de puntos P₁, P₂, ... ,P_n, ... de la circunferencia, del modo siguiente:

Q_n es el simétrico de A respecto de P_n y la recta que une B y Q_n corta a la circunferencia (C) en los puntos B y P_n+1 (no necesariamente diferentes).

Demostrar que es posible elegir P₀ tal que se cumplan simultáneamente:

1. El ángulo P₀AB es menor que 1

2. En la sucesión generada a partir de P₀ hay dos puntos P_k y P_j tales que el triángulo AP_kP_j es equilátero.

3. Sea p un número real positivo dado.
Hallar el mínimo valor de x³ + y³ sabiendo que x e y son números reales positivos tales que x.y.(x+y)=p.

Segundo día

4. Pedro y Cecilia participan en un juego con las siguientes reglas:
Pedro elige un número entero positivo a y Cecilia le gana si encuentra un número entero positivo b, primo con a, tal que en la descomposición en factores primos de a³ + b³ aparecen por lo menos tres factores primos distintos.
Demostrar que Cecilia siempre puede ganar.

5. Determinar infinitas ternas x, y, z de enteros positivos que sean soluciones de la ecuación x² + y² = 2z², tales que el máximo común divisor de x, y, z sea 1.

6. Sea ABC un triángulo rectángulo en C. Sobre el lado AB se toma un punto D, de modo que CD=k, y los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos ADC y CDB son iguales.
Demostrar que el área del triángulo ABC es igual a k².

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