Brasil. 1993

1. Estando algunas pilas de discos en una mesa, un movimiento admisible es elegir una pila, descartar uno de sus discos y dividir lo que resta de la pila en dos pilas no vacías, no necesariamente iguales.
Inicialmente hay sobre la mesa sólo una pila y ésta tiene 1000 discos. Determine si es posible, después de alguna sucesión de movimientos admisibles, llegar a una situación donde cada pila tenga exactamente 3 discos.

2. Sean tres puntos A, B y C perteneciente a una circunferencia de centro O tales que ÐAOB < ÐBOC. Sea D el punto medio del arco AC que contiene a B. Sea K el pie de la perpendicular a BC por D.
Pruebe que AB + BK = KC.

3. Determine el número de elementos que puede tener un conjunto B contenido en {1, 2 , ... , n} con la siguiente propiedad:

Para cualesquiera a y b elementos de B, con a diferente de b, (a - b) no divide a (a + b).

Segundo día

4. En un tablero de ajedrez (8 x 8) están escritos ordenadamente los números del 1 al 64; en la primera fila, de izquierda a derecha están los números del 1 al 8, en la segunda fila, de izquierda a derecha se ponen del 9 al 16, etc. Se colocan signos + ó - a cada número de manera que en cada fila haya 4 signos + y 4 signos -, y lo mismo ocurra en cada columna. Se suman los 64 números así obtenidos.
Hallar todos los posibles resultados de esta suma.

5. Pruebe que existe una sucesión a₁ ,..., a_k ,..., donde cada a_i es un dígito (o sea a_i pertenece a { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } ) y a₀ = 6, tal que para cada entero positivo n el número

x_n = a₀ + 10a₁+100a₂+ ... +10^{n - 1} a_{n - 1}

verifica que x_n² - x_n es divisible por 10ⁿ.

6. Pruebe que dado un número entero positivo n, existe un entero positivo k_n con la siguiente propiedad:

Dados k_n puntos cualesquiera en el espacio, 4 a 4 no coplanares, y asociados números enteros entre 1 y n a cada arista que une 2 de estos puntos, hay necesariamente un triángulo determinado por 3 de ellos cuyas aristas tienen asociados el mismo número.

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