Chile. 1992

1. Hallar un número entero positivo n de manera tal que si a su expresión se le coloca un 2 por la izquierda y un 1 por la derecha, el número resultante sea igual a 33n.

2. Sea P un punto fuera de la circunferencia C. Encontrar dos puntos Q y R en la circunferencia tales que P, Q, R estén en línea recta y Q sea el punto medio del segmento PR. (discutir el número de soluciones).

3. Se define el conjunto de 100 números 1, 1/2, 1/3, ..., 1/100.
Se eliminan dos elementos cualesquiera a y b de este conjunto y se incluye, en el conjunto, el número a + b + ab quedando así un conjunto con un elemento menos. Después de 99 de estas operaciones, queda sólo un número.
¿Qué valores puede tomar ese número?

Segundo día

4. Pruebe que no existen números enteros positivos x, y, z que satisfagan

x² + y² = 3z²

5. En un triángulo ABC, sea E el pie de la altura desde A sobre BC.
Demostrar que

AE = (b.c)/(2r)

donde r es el radio de la circunferencia circunscrita, b=AC y c=AB.

6. Se tiene un tablero de m x n casillas. Se asigna inicialmente un número entero no negativo a cada una de las casillas. En el tablero se permite efectuar la siguiente operación: en cualquier par de casillas con un lado común se puede modificar los dos números sumándoles un mismo número entero (que puede ser negativo), siempre que ambos resultados sean no negativos.
¿Qué condiciones se deben satisfacer inicialmente en la asignación de los números, para dejar, mediante aplicaciones reiteradas de la operación, cero en todas las casillas?

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