.
A continuación Maxi fija el valor de m, con
y
,
y comienza el juego.Determinar si alguno de los dos puede fijar su número para asegurarse la victoria, si los dos juegan a ganar.
22° Olimpíada
Matemática del Cono Sur
Prueba de Selección
31 de marzo y 1 de abril de 2011
Primer día
1. Hallar todos los números enteros positivos n para los que existe un múltiplo de 11 que tiene la suma de sus dígitos igual a n.
2. Inicialmente hay una
pila con 360 piedras. Nico y Maxi juegan al siguiente juego. Por turnos quitan
piedras de la pila. Maxi comienza el juego. En cada jugada, el jugador puede
retirar exactamente 1 o exactamente m o exactamente n piedras de
la pila. Gana el jugador que retira la última piedra. Antes de comenzar el
juego, Nico fija el valor de n, con
.
A continuación Maxi fija el valor de m, con
y
,
y comienza el juego.
Determinar si alguno de los dos puede fijar su número para asegurarse la
victoria, si los dos juegan a ganar.
3. Sea ABC un
triángulo y consideramos su circunferencia circunscrita. La cuerda AD es
la bisectriz del ángulo 
del
triángulo ABC y corta al lado BC en L; la cuerda DK
es perpendicular al lado AC y lo corta en M. Si
,
calcular 
.
ACLARACIÓN: La circunferencia
circunscrita del triángulo ABC es la que pasa por sus tres vértices.
Segundo día
4. Un palíndromo
multiplicativo es un número que no empieza con 0, se lee igual de izquierda
a derecha que de derecha a izquierda y que se puede expresar como multiplicación
de dos enteros positivos tales que el segundo es igual al primero pero leído de
derecha a izquierda (como 4831 y 1384). Por ejemplo, 20502 es un palíndromo
multiplicativo, pues 
y
20502 es un palíndromo.
Determinar todos los palíndromos multiplicativos de 5 dígitos.
5. En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 33. En cada paso se eligen dos números del pizarrón tales que uno divida al otro, se borran y se escribe el cociente entero de los dos números recién borrados. Este procedimiento se repite hasta que no haya en el pizarrón ningún número que divida a otro. Determinar la menor cantidad de números que pueden quedar al final en el pizarrón.
6. Dado un
entero positivo n, denotamos 
a
la suma de los n primeros números primos (positivos):
,
etc. Determinar si existen dos términos consecutivos de la sucesión
que
sean ambos cuadrados perfectos.
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