21° Olimpíada Matemática del Cono Sur
Prueba de Selección

25 y 26 de marzo de 2010

Primer día

1. Ariel tiene que factorizar en primos los números enteros 200², 201², …, 900², es decir, todos los cuadrados perfectos desde 200² hasta 900². A continuación debe hacer la lista de todos los primos distintos que figuran en alguna de estas factorizaciones. Franco tiene que factorizar en primos los números enteros 200² – 1, 201² – 1, …, 900² – 1, es decir, todos los que preceden a los cuadrados perfectos desde 200² – 1, hasta 900² – 1. A continuación debe hacer la lista de todos los primos distintos que figuran en alguna de estas factorizaciones. ¿Cuál de las dos listas tiene más primos?
ACLARACIÓN: Cuando Ariel hace su lista, si un primo figura en varios números o varias veces en un número, lo cuenta solo una vez. Lo mismo hace Franco.

2. En cada casilla de un tablero de 100 x 210 está escrito un número y no todos los números son cero. Para cada casilla, si A es la suma de todos los números escritos en la fila de la casilla (incluido el número de la casilla) y B es la suma de todos los números de la columna de la casilla (incluido el número de la casilla), entonces el número escrito en la casilla es igual al producto AB.
Hallar la suma de todos los números del tablero y dar un ejemplo de tablero que tenga, en cada fila, todos los números distintos, y en cada columna, todos los números distintos.

3. Sea ABC un triángulo. Consideramos puntos E y D del interior de los lados AC y BC, respectivamente, tales que AE = BD. Sean M el punto medio del lado AB y P el punto de intersección de las rectas AD y BE. Demostrar que el simétrico de P con respecto a M pertenece a la bisectriz del ángulo

Segundo día
 

4. Se tiene un cuadrado de 2010 x 2010 cuadriculado en cuadritos de 1 x 1 al que se le recortó el cuadrito de 1 x 1 de la esquina inferior derecha. Determinar si el tablero de un cuadrito menos se puede cubrir totalmente, sin huecos ni superposiciones, y sin salirse del tablero, con piezas de los siguientes dos tipos (tantas como se quieran de cada tipo).

¿Y si el tablero inicial es de 2011 x 2011?

5. Consideramos la sucesión de los números enteros desde 0 hasta 63 inclusive. Decidir si es posible reordenar los 64 números de manera que, en el nuevo orden, para cada elección de tres números a, b, c tales que a está antes de b y b antes de c se verifique a – b ≠ b – c.
ACLARACIÓN: El número a no es necesariamente el anterior a b en el nuevo orden, y lo mismo ocurre con c y b. 

6. Sea I = {1, 2, …., 2010} el conjunto de todos los números enteros desde 1 hasta 2010 inclusive. Hallar el mayor entero positivo n para el que existen n conjuntos distintos de números contenidos en I tales que

§        Para todo par de estos conjuntos, la unión de los dos conjuntos contiene a lo sumo 2005 números distintos.

§        Para todo trío de estos conjuntos, la unión de los tres conjuntos es igual al conjunto I de todos los números enteros desde 1 hasta 2010 inclusive.

Archivo de Enunciados Página Principal	Olimpíada Matemática Argentina    www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar