20° Olimpíada Matemática del Cono Sur
Prueba de Selección

12 y 13 de marzo de 2009

Primer día

1. En una isla viven 200 personas: 100 sinceros, que siempre dicen la verdad, y 100 mentirosos, que siempre mienten. Cada una tiene por lo menos una persona amiga en la isla. Cierto día, 100 personas afirmaron, cada una, “todos mis amigos son sinceros” y las otras 100 personas afirmaron, cada una, “todos mis amigos son mentirosos”. Si se forman todos los pares de amigos integrados por una persona sincera y la otra mentirosa, determinar la menor cantidad de estos pares que puede haber.
ACLARACIÓN: Si A es amigo de B, entonces B es amigo de A. Cada persona puede integrar más de un par.

2. Sean p, q y r tres primos (distintos) tales que p < q <  r. Si  y , hallar los posible valores de p, q y r. 

3. Determinar si es posible cubrir un cuadrado de lado 2,1 con 7 cuadrados de lado 1. (Los cuadrados de lado 1 se pueden girar y pueden superponerse.)

Segundo día
 

4. Freddy escribió en cada casilla de un tablero de 10 x 10 un número entero del 1 al 10 inclusive, de modo que los números de casillas adyacentes (con un lado o un vértice común) son coprimos. Demostrar que hay un número que se repite al menos 17 veces.
ACLARACIÓN: Dos números son coprimos si su máximo común divisor es 1.

5. Sea ABCD un cuadrado y E un punto del lado BC. El segmento AE corta a la diagonal BD en G. Sea F en el lado CD tal que FG es perpendicular a AE, y sea K en FG tal que AK = FE. Calcular la medida del ángulo .

6. Sea m un entero positivo y U el número formado por m dígitos 1:

                                .
Si A > 0 es un múltiplo de U, determinar el menor valor que puede tener la suma de los dígitos de A.

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