18° Olimpíada Matemática del Cono Sur
Prueba de Selección

29 y 30 de marzo de 2007

Primer día

 1. En cada casilla de un tablero de  se escribe un 0 o un 1 de modo que la suma de los números de 90 casillas consecutivas sea siempre igual a 65. Determinar los valores posibles de la suma de los 2007 números escritos en el tablero.

2. Alex y Beto juegan al siguiente juego. Primero se sortea un número entero n mayor que 1, y a partir de entonces, eligen alternadamente enteros 

positivos. Comienza Alex, que debe elegir un número menor que n pero mayor o igual que . Luego, en cada turno, si el último número elegido (por el oponente) fue k entonces el siguiente debe ser menor que k pero mayor o igual que . El ganador es el que elige el 1.

Para cada valor inicial n, determinar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

3. Hallar todas las ternas de primos positivos distintos p, q, r tales que

                          ;    ; 

sean números enteros.

Segundo día

4. Sea n un número entero mayor o igual que 4. Alrededor de una circunferencia hay n tarjetas cada una de las cuales tiene escrito un 1 o un –1 pero del lado que no se ve. Martín debe determinar el producto de los n números escritos en las tarjetas. Para ello puede preguntar cuánto vale el producto de los números de tres tarjetas cualesquiera, a su elección. Determinar para cada n el número mínimo de preguntas que necesita Martín para conocer con certeza el producto de los n números.

5. Dado un triángulo equilátero ABC sea M un punto del lado BC, con  y . Se considera el punto N tal que el triángulo BMN sea equilátero y A y N estén en distintos semiplanos respecto de BC. Sean P, Q y R los puntos medios de AB, BN y CM respectivamente. Demostrar que el triángulo PQR es equilátero.

6. Un programa de computadora genera una sucesión de números naturales con la siguiente regla: el primer número es un entero mayor que 1 y lo elige Matías; a partir de entonces, el programa factoriza en primos el último número generado y el nuevo número generado es 1 más la suma de cada primo de la factorización multiplicado por el exponente que le corresponde. Por ejemplo, si el número de Matías es 80, la computadora halla  y genera . El siguiente número generado es 10, pues  y .

Demostrar que cualquiera sea el número inicial de Matías (mayor que 1), en algún momento la sucesión de los números generados se hace periódica (tiene un ciclo de valores que se repiten indefinidamente), y hallar los posibles ciclos de acuerdo a la elección inicial de Matías.

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