XVII Olimpíada Matemática del Cono Sur

5 al 11 de Mayo de 2006

1 
En el cuadrilátero convexo ABCD, sean E y F los puntos medios de los lados AD y BC, respectivamente. Los segmentos CE y DF se cortan en O. Demostrar que si las rectas AO y BO dividen al lado CD en tres partes iguales entonces ABCD es un paralelogramo.

2 
Dos personas, A y B, juegan quitando monedas de una pila que contiene inicialmente 2006 monedas. Los jugadores juegan por turnos quitando en cada turno de 1 a 7 monedas; cada jugador conserva consigo las monedas que ha quitado. Si un jugador lo desea, puede pasar (no quitar monedas en su turno) pero para ello debe pagar 7 monedas de las que retiró de la pila en turnos anteriores. Estas 7 monedas se colocan en una caja aparte y ya no intervienen más en el juego. Gana quien retira la última moneda, y A comienza el juego.
Determinar cuál de los dos jugadores puede asegurarse la victoria, no importa cómo juegue el otro. Mostrar una estrategia ganadora y explicar por qué es ganadora.

3
Sea n un número natural. La sucesión finita a de enteros positivos tiene, entre sus términos, exactamente n números distintos (a puede tener números repetidos). Además, si a uno cualquiera de sus términos se le resta 1, se obtiene una sucesión que tiene, entre sus términos, al menos n números positivos distintos. ¿Cuál es el valor mínimo que puede tener la suma de todos los términos de la sucesión a?

4 
En un pizarrón Daniel escribió, de arriba hacia abajo, una lista de números enteros positivos menores o iguales que 10. Al lado de cada número de la lista de Daniel, Martín anotó la cantidad de veces que ese número figuraba en la lista de Daniel y así obtuvo una lista de la misma longitud. 
Si se lee la lista de Martín de abajo hacia arriba se obtiene la misma lista de números que escribió Daniel de arriba hacia abajo. Hallar la longitud máxima que puede tener la lista de Daniel.

5 
Hallar todos los enteros positivos n tales que  divide a  y  divide a .

( denota la parte entera de r, es decir, el mayor entero que es menor o igual que r. Por ejemplo:  ; ; .)

6
El plano se divide en casillas cuadradas de lado 1 mediante rectas paralelas a los ejes coordenados. Cada casilla está coloreada de blanco o de negro. Cada segundo se recolorean simultáneamente todas las casillas, de acuerdo con la siguiente regla: Cada casilla Q adopta el color que más aparece en la configuración de cinco casillas que indica la figura.

El proceso de recoloración se repite indefinidamente. 
a) Determinar si existe una coloración inicial con una cantidad finita de casillas negras tal que siempre haya al menos una casilla negra, no importa cuántos segundos hayan transcurrido desde que se inició el proceso.
b) Determinar si existe una coloración inicial con una cantidad finita de casillas negras tal que el número de casillas negras al cabo de alguna cantidad de segundos sea por lo menos 10¹⁰ veces mayor que el número inicial de casillas negras.

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