15° Olimpíada Matemática del Cono Sur
Prueba de Selección

25 y 26 de marzo de 2004

 

Primer día

1. Dado un número natural n consideramos el conjunto In de todos los números naturales desde 1 hasta n: In={1,2,…,n}. Una división de In en dos conjuntos se denomina vulgar si en alguno de los dos conjuntos hay dos números distintos cuya suma es un cuadrado perfecto. En otro caso, la división se dice original.

Determinar los valores de n para los cuales existen divisiones originales de In.

(Para cada uno de los n hallados indicar una división original de In y demostrar que para los otros valores de n todas las divisiones de In en dos conjuntos son vulgares.)

 

2. Una civilización antigua sólo disponía de un instrumento de geometría. Este instrumento cumple dos funciones, y ninguna más: trazar rectas por dos puntos y trazar perpendiculares a una recta por un punto dado.

Dar un procedimiento para dividir un ángulo dado de 60° en dos ángulos iguales utilizando exclusivamente el instrumento de los antiguos.

 

3. Dos jugadores escriben, por turnos, un dígito en el pizarrón, uno a continuación del otro, de izquierda a derecha. El jugador que escribe un dígito tal que el número formado por uno o varios dígitos consecutivos de los escritos en el pizarrón es múltiplo de 11, pierde el juego. Determinar cuál de los dos jugadores, el que empieza o el segundo, puede asegurarse la victoria, no importa lo bien que juegue su oponente. Indicar cómo debe jugar y explicar porqué de ese modo ganará.

 

Segundo día

4. Nicolás debe dibujar un triángulo ABC y un punto P en su interior de modo que entre los 6 triángulos en que queda dividido el ABC mediante las rectas AP, BP y CP haya 4 que tengan áreas iguales. Decidir si es posible lograrlo sin que los 6 triángulos tengan áreas iguales.

 

5. Determinar las ternas de enteros positivos a, b, c tales que

.

 

6. Inicialmente hay una hormiga en un vértice de un cubo, y un oso hormiguero con los ojos vendados trata de atraparla. Mueven por turnos. En cada turno la hormiga puede quedarse en el mismo vértice o desplazarse a cualquiera de los tres vecinos (unidos por una arista al vértice en el que está). El oso, en su turno elige n vértices. Si en alguno de los n vértices elegidos está la hormiga, la ha atrapado. Si no, continúa el juego.

Determinar si el oso hormiguero tiene una estrategia que le permita atrapar con certeza a la hormiga 

a) para n=3,

b) para n=4,

c) para n=5.

En cada caso, si la respuesta es afirmativa, dar la estrategia y explicar porqué le asegura atrapar a la hormiga. Si la respuesta es negativa, justificar por qué cualquier estrategia puede fallar.

 

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