XIII Olimpíada Matemática del Cono Sur
Prueba de Selección

2 y 3 de mayo de 2002

 

Primer día

1. En un torneo, cada equipo jugó 2 partidos contra cada uno de los restantes. Un solo equipo ganó el torneo, con 28 puntos, y exactamente 2 equipos quedaron últimos, con 22 puntos cada uno. Determinar cuántos equipos participaron en el torneo e indicar un posible desarrollo de los partidos, si se sabe que cada partido ganado otorga 2 puntos, cada partido perdido otorga 0 puntos y no hubo empates.

2. Sea ABCD un trapecio de bases AB = 5 y CD = 2, y lados no paralelos BC = 4 y DA = 1. La bisectriz

exterior del ángulo B corta a la bisectriz exterior del ángulo C en el punto P, y la bisectriz exterior del ángulo A corta a la bisectriz exterior del ángulo D en el punto Q. Calcular la medida del segmento PQ.

Nota: La bisectriz exterior de un ángulo es la recta perpendicular a la bisectriz del ángulo que pasa por el vértice del ángulo.

3. Dado un conjunto de 100 piedras, sea 2P la suma de los pesos de todas las piedras. Diremos que un número entero positivo k es bueno si es posible seleccionar k piedras del conjunto tales que la suma de los pesos de las k piedras sea igual a P. Determinar la máxima cantidad de números buenos que puede tener un conjunto de 100 piedras.

 

Segundo día

4. En el pizarrón está escrito un número natural de 9 cifras. Lucas multiplicó por 2 el número del pizarrón, y al resultado le borró la primera cifra de la izquierda. Gabriel multiplicó por 3 el número del pizarrón y al resultado le borró la última cifra de la derecha. De este modo Lucas y Gabriel obtuvieron números iguales. Hallar el número del pizarrón.

5. Sea ABC un triángulo, con AB < BC, y denotamos O al centro de la circunferencia circunscripta al triángulo. La bisectriz del ángulo B corta al lado AC en D. Se traza por O la recta perpendicular a AC, que corta al lado AC en M y al arco AC que contiene a B en P. Se traza por P la recta perpendicular a BC que corta al lado BC en N. Demostrar que cada una de las diagonales del cuadrilátero BDMN divide al triángulo ABC en dos figuras de áreas iguales.

Nota: La circunferencia circunscripta al triángulo es la que pasa por los tres vértices del triángulo.

6. Se tiene un cuadrado de lado 2002 subdividido en cuadraditos de lado 1, mediante rectas paralelas a sus lados. Cintia debe colorear todos los puntos que son vértices de cuadraditos de 1 x 1 con rojo o azul. Verónica tiene que seleccionar un rectángulo (o un cuadrado) con lados paralelos a los lados del cuadrado, que tenga sus cuatro vértices en puntos coloreados y tenga área igual a una potencia de 2 (es decir, igual a l ó 2 ó 4 u 8 ó 16 etc.). Si el rectángulo que selecciona Verónica tiene sus 4 vértices del mismo color, gana Verónica. En caso contrario, gana Cintia. Demostrar que Cintia puede colorear los puntos de manera tal que se asegura la victoria.

 


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