4. En el pizarrón está escrito un número natural de 9 cifras. Lucas multiplicó por 2 el número del pizarrón, y al resultado le borró la primera cifra de la izquierda. Gabriel multiplicó por 3 el número del pizarrón y al resultado le borró la última cifra de la derecha. De este modo Lucas y Gabriel obtuvieron números iguales. Hallar el número del pizarrón.

5. Sea ABC un triángulo, con AB < BC, y denotamos O al centro de la circunferencia circunscripta al triángulo. La bisectriz del ángulo B corta al lado AC en D. Se traza por O la recta perpendicular a AC, que corta al lado AC en M y al arco AC que contiene a B en P. Se traza por P la recta perpendicular a BC que corta al lado BC en N. Demostrar que cada una de las diagonales del cuadrilátero BDMN divide al triángulo ABC en dos figuras de áreas iguales.

Nota: La circunferencia circunscripta al triángulo es la que pasa por los tres vértices del triángulo.

6. Se tiene un cuadrado de lado 2002 subdividido en cuadraditos de lado 1, mediante rectas paralelas a sus lados. Cintia debe colorear todos los puntos que son vértices de cuadraditos de 1 x 1 con rojo o azul. Verónica tiene que seleccionar un rectángulo (o un cuadrado) con lados paralelos a los lados del cuadrado, que tenga sus cuatro vértices en puntos coloreados y tenga área igual a una potencia de 2 (es decir, igual a l ó 2 ó 4 u 8 ó 16 etc.). Si el rectángulo que selecciona Verónica tiene sus 4 vértices del mismo color, gana Verónica. En caso contrario, gana Cintia. Demostrar que Cintia puede colorear los puntos de manera tal que se asegura la victoria.