XI Olimpíada Matemática del Cono Sur
Prueba de Selección

23 y 24 de marzo de 2000

1

Lucas dibuja un segmento AC y Nicolás marca un punto B del interior del segmento.

Sean P y Q puntos en un mismo semiplano respecto de AC tales que los triángulos APB y BQC son isósceles en P y Q, respectivamente, con APB = BQC = 120º.

Sea R el punto del otro semiplano tal que el triángulo ARC es isósceles en R, con ARC = 120º.

Se traza el triángulo PQR. Demostrar que este triángulo es equilátero.

2

Pablo elige un entero positivo n y escribe en el pizarrón los 2n+l números

n / 1 , n / 2 , n / 3 , ... , n / (2n+1)

(los denominadores aumentan de a 1 por vez).

Laura elige dos números escritos por Pablo, a y b, los borra y escribe el número 2ab – a – b + l. Después de repetir este procedimiento 2n veces, en el pizarrón hay un solo número escrito. Determinar los posibles valores de este único número.

3

Consideramos un polígono regular de n lados (n > 2). En cada vértice se escribe un número entero entre 1 y n inclusive, sin repetir números. Diremos que una distribución de los números es buena si para cada tres vértices A, B, C tales que AB = AC, se verifica que el número escrito en A es mayor que cada uno de los números escritos en B y C, o el número escrito en A es menor que cada uno de los números escritos en B y C.

Determinar todos los valores de n para los cuales existe una distribución buena.

4

Enzo le dice a su hermana que si ella piensa un número con todos sus dígitos distintos y ordenados en forma creciente de izquierda a derecha, y luego multiplica por 9 el número que pensó, él siempre sabe cuánto vale la suma de los dígitos del resultado de la multiplicación, aunque no sabe qué número pensó la hermana.

Decidir si Enzo miente o dice la verdad y explicar por qué.

5

Sea P un punto en el interior de un ángulo, que no pertenece a la bisectriz del mismo. Se consideran dos segmentos por P: AB y CD, con A y C en uno de los lados del ángulo, B y D en el otro lado del ángulo, tales que P es el punto medio de AD y CD es perpendicular a la bisectriz del ángulo. Demostrar que AB > CD.

6

Se tiene la sucesión P(l), P(2), P(3), ... definida por las siguientes reglas

P(1) = 1

P(2) = P(l) + P(l) = 2

P(3) = P(2) + P(l) = 3

P(4) = P(3) + P(2) = 5

P(S) = P(4) + P(2) = 7

y en general,

si n > l es par, entonces P(n) = P(n - 1) + P(n / 2)

si n > l es impar, entonces P(n) = P(n - 1) + P((n – 1) / 2)

Demostrar que existe un valor de n, con n > 2000, tal que P(n) es múltiplo de 7.

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