XI Olimpíada Matemática del Cono Sur

14 al 19 de abril de 2000

1

Decimos que un número es descendente si cada uno de sus dígitos es menor o igual que el dígito anterior, de izquierda a derecha. Por ejemplo, 4221 y 751 son descendentes, mientras que 476 y 455 no son descendentes.

Determine si existen enteros positivos n para los cuales 16ⁿ es descendente.

2

En un tablero de 8x8 distribuimos los enteros desde 1 hasta 64, uno en cada casilla. Luego, se colocan sobre el tablero fichas cuadradas de 2x2, que cubren perfectamente 4 casillas (sin superponerse), de modo que los 4 números tapados por cada ficha sumen menos de 100.

Mostrar una distribución de esos enteros que permita colocar el mayor número de fichas, y demostrar que no es posible lograr una distribución que permita colocar más fichas.

3

Un cuadrado de lado 2 está dividido en rectángulos mediante varias rectas paralelas a sus lados (algunas horizontales y otras verticales). Se colorean los rectángulos alternadamente de blanco y negro, como si fuera un tablero de ajedrez. Si de este modo el área blanca resultó ser igual al área negra, demostrar que al recortar los rectángulos negros a lo largo de sus bordes, es posible formar con ellos sin superposición un rectángulo negro de tamaño 1 x 2.

4

Sean el cuadrado ABCD (sentido horario) y P un punto cualquiera perteneciente al interior del segmento BC. Se construye el cuadrado APRS (sentido horario).

Demostrar que la recta CR es tangente a la circunferencia circunscripta al triángulo ABC.

5

En el plano cartesiano considere los puntos de coordenadas enteras. Una operación consiste en:

elegir uno de estos puntos y realizar la rotación con centro en él, de 90º en sentido antihorario.

¿Es posible, a través de una secuencia de dichas operaciones, llevar el triángulo de vértices (0,0), (1,0) y (0,1) al triángulo de vértices (0,0), (1,0) y (1,1)?

6

¿Existe un entero positivo divisible por el producto de sus dígitos tal que ese producto es mayor que 10²⁰⁰⁰?

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